作业帮设A是n阶矩阵,A^2=E(1)试证A的特征值只能为1或-1(2)A能否相似对角化?若能,写出相应对角阵写清步骤,谢谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 17:59:24
设A是n阶矩阵,A^2=E(1)试证A的特征值只能为1或-1(2)A能否相似对角化?若能,写出相应对角阵写清步骤,谢谢!
设A是n阶矩阵,A^2=E(1)试证A的特征值只能为1或-1(2)A能否相似对角化?若能,写出相应对角阵
写清步骤,谢谢!
设A是n阶矩阵,A^2=E(1)试证A的特征值只能为1或-1(2)A能否相似对角化?若能,写出相应对角阵写清步骤,谢谢!
(1) 假设λ是A的一个特征值,且λ≠±1,v为λ对应的特征向量
则 Av = λv,又A2=E
有 v=Ev=A2v=A(Av)=A(λv)=λ(Av)=λ2v
∴ (1-λ2)v = 0,由特征向量定义 v≠0
故 1-λ2=0,λ=±1
(2) 设 A+E=[u1,u2,...,un],A-E=[v1,v2,...,vn],则[u1-v1,u2-v2,...,un-vn]=2E
考虑矩阵M=[u1,u2,...,un,v1,v2,...,vn],M是n*2n的矩阵
对M作基本列变换可得M'=[u1-v1,u2-v2,...,un-vn,v1,v2,...,vn]
(u1-v1,u2-v2,...,un-vn)是M'的列向量的一组极大线性无关组
因此矩阵M的秩为n.
设(ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry) (x+y=n)是M'的列向量的一组极大线性无关组
则矩阵T=[ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry]是n阶满秩矩阵,矩阵T可逆.
由(A+E)vk=0,(A-E)uk=0可得：A*uk=uk,A*vk=-vk
AT=[A*ur1,A*ur2,...,A*urx,A*vr1,A*vr2,...,A*vry]
=[ur1,ur2,...,urx,-vr1,-vr2,...,-vry]
=[ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry]*diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) （x个1,y个-1）
=TD (D=diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) （x个1,y个-1）)
有D=T^(-1)AT
因此A可以相似对角化,相应对角阵为 D=diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) （x个1,y个-1,x,y分别是1,-1的代数重数）