如图 四棱锥P-ABCD中 PA⊥平面ABCD 底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,AB=AD=AP E为PC中点 求二面角E-BD-C的余弦值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/20 20:17:13
如图 四棱锥P-ABCD中 PA⊥平面ABCD 底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,AB=AD=AP E为PC中点  求二面角E-BD-C的余弦值

如图 四棱锥P-ABCD中 PA⊥平面ABCD 底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,AB=AD=AP E为PC中点 求二面角E-BD-C的余弦值

如图 四棱锥P-ABCD中 PA⊥平面ABCD 底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,AB=AD=AP E为PC中点  求二面角E-BD-C的余弦值


如图 四棱锥P-ABCD中 PA⊥平面ABCD 底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,AB=AD=AP E为PC中点 求二面角E-BD-C的余弦值
1)以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,求出
PC

BD
的坐标,利用它们的数量积为零证得BD⊥OC;
(2)易证
BD
为面PAC的法向量,求出面PBC的法向量
n
,然后求出两法向量的夹角,利用两平面的法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补,即可求得二面角B-PC-A的余弦值.
证明:(Ⅰ)以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
则B(0,1,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,4),
∴PC=(-2,4,-4),BD=(-2,-1,0),
∴PC•BD=0
所以PC⊥BD.
(Ⅱ)易证BD为面PAC的法向量,
设面PBC的法向量n=(a,b,c),
PB=(0,1,-4),BC=(-2,3,0)
所以n•PB=0n•BC=0⇒b=4ca=6c
所以面PBC的法向量n=(6,4,1),
∴cosθ=-16265.
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角,
所以二面角B-PC-A的余弦值为16265.
点评:本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=AB=AD=1,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,求四棱锥的表面积 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=a,又M,N分别是AB,PC的中点,求证平面PMC⊥平面PCD 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD⊥AD求证:平面PDC⊥平面PAD 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=1/2AD,求证:平面PAC⊥平面PCD 如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,若PA=AD=AB,求PC与平面ABCD求PC与平面ABCD所成角的正切值 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,若PA=AB,求二面角A-PD-B的余弦值. 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,平面 PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E,F分别是...如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,平面 PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E,F分别是PC,BD的中点.证明EF平行于平面PAD 证明AB垂直于 如图在正四棱锥P-ABCD中,E是PC的中点,求证:(1)PA‖平面BDE;(2)平面PAC⊥平面BDE. 如图:已知四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中点,求证(1)PC 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90° 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,指出图中有哪些是直角三角形 如图,四棱锥P-ABCD中底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=根号2,1.求证PA⊥平面ABCD 2.求P-ABCD的体积 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD.底面ABCD为梯形,AB‖DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,PE=2E1.求证:平面PAB⊥平面PCB;2.求证:PD‖平面EAC.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD。底面ABCD为梯形,A 如图,已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC数学如图,已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,E是线段PC上一点,PC⊥平面BDE.(Ⅰ)求证:BD⊥ 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,PA=AD.M为AB的中点.求证:平面PMC⊥平面PCD 如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面PCD. 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,边长是a,PD=a,PA=PC= 根号2倍的a,如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,边长是a,PD=a,PA=PC= 根号2倍的a, 1)证明:PD⊥平面ABCD;(2)求点A到平面PBD的距离;(3 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BD,PA的中点,PA=AB=2