函数f是区间[a,b]→[a,b]的映射 若对某个正整数n,f有2^n-周期点求证f必有2-周期点,2^2-周期点,…,2^(n-1)周期点.（说明：x是f的2-周期点,那么 f(f(x))=x；n-周期点就是反复迭代n次之后的值等于初始的

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 08:41:34
函数f是区间[a,b]→[a,b]的映射 若对某个正整数n,f有2^n-周期点求证f必有2-周期点,2^2-周期点,…,2^(n-1)周期点.（说明：x是f的2-周期点,那么 f(f(x))=x；n-周期点就是反复迭代n次之后的值等于初始的

函数f是区间[a,b]→[a,b]的映射 若对某个正整数n,f有2^n-周期点求证f必有2-周期点,2^2-周期点,…,2^(n-1)周期点.（说明：x是f的2-周期点,那么 f(f(x))=x；n-周期点就是反复迭代n次之后的值等于初始的
函数f是区间[a,b]→[a,b]的映射 若对某个正整数n,f有2^n-周期点
求证f必有2-周期点,2^2-周期点,…,2^(n-1)周期点.
（说明：x是f的2-周期点,那么 f(f(x))=x；n-周期点就是反复迭代n次之后的值等于初始的x值）
不好意思……怪我之前没解释清楚
n-周期点定义：
如果x是f的一个周期点，那么x的一切周期中的最小者成为x的最小周期。
如果x的最小周期是n，则称x是f的一个n-周期点
注意 题目中f是连续函数。

函数f是区间[a,b]→[a,b]的映射 若对某个正整数n,f有2^n-周期点求证f必有2-周期点,2^2-周期点,…,2^(n-1)周期点.（说明：x是f的2-周期点,那么 f(f(x))=x；n-周期点就是反复迭代n次之后的值等于初始的
这是Sharkovskii定理的特殊情况.
把1-周期点（即不动点）也加入到结论里,然后归纳基础就可以简单一些
为简单起见,闭区间[u,v]和[v,u]都表示{x:min{u,v}=1),那么x1作为g(x)的周期点以2^{n-k-1}为一个周期,所以只有k=1才能使条件（即x1是g(x)的2^{n-2}-周期点）成立,于是x1是f(x)的2^{n-1}-周期点.

记f(f(x))=x为f[2]=x
对某个正整数n，f有2^n-周期点，即f[2^n]=x
f[2]=f(f),f[4]=f(f(f(f)))=f[2](f[2]),显然有f[2^n]=f[2^(n-1)](f[2^(n-1)])
记f[2^(n-1)]=F，故f[2^n]=f[2^(n-1)](f[2^(n-1)])=F(F)=x,故f有2-周期点
又f[2^(n...

全部展开

记f(f(x))=x为f[2]=x
对某个正整数n，f有2^n-周期点，即f[2^n]=x
f[2]=f(f),f[4]=f(f(f(f)))=f[2](f[2]),显然有f[2^n]=f[2^(n-1)](f[2^(n-1)])
记f[2^(n-1)]=F，故f[2^n]=f[2^(n-1)](f[2^(n-1)])=F(F)=x,故f有2-周期点
又f[2^(n-1)]=f[2^(n-2)](f[2^(n-2)])，
得f[2^n]=f[2^(n-2)](f[2^(n-2)](f[2^(n-2)](f[2^(n-2)])))=T(T(T(T)))=T[2](T[2])=x,故f有2^2-周期点
设f[2^k]=f[2^(k-1)](f[2^(k-1)])
当k=n时，f[2^n]拆分2^(n-k+1)次，得f[2^n]=f[2^(n-1)](f[2^(n-1)])=x成立(共2^1个f[2^(n-1)])
当k=n-1时，f[2^n]拆分2^(n-k+1)次，得f[2^n]=f[2^(n-2)](f[2^(n-2)](f[2^(n-2)](f[2^(n-2)])))=x成立(共2^2个f[2^(n-2)])
..
当k=3时，f[2^n]拆分2^(n-2)次，得f[2^n]=f[4](f[4](f[4](..(f[4])..)))=x成立(共2^(n-2)个f[4])
当k=2时，f[2^2]=f[2^(2-1)](f[2^(2-1)])=f[2](f[2]),f[2^n]=f[4](f[4](f[4](..(f[4])..)))=f[2](f[2](f[2](..(f[2])..)))=x成立(共2^(n-2)*2即2^(n-1)个f[2])，即f有2^(n-1)周期点
故f必有2-周期点，2^2-周期点，…，2^(n-1)周期点成立

收起

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