作业帮如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴相交于点B(-2,0)和C,O为坐标原点 若点M在y轴上 且∠OMB+∠OAB=∠ACB 求AM的长
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 14:22:03
如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴相交于点B(-2,0)和C,O为坐标原点 若点M在y轴上 且∠OMB+∠OAB=∠ACB 求AM的长
如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴相交于点B(-2,0)和C,O为坐标原点 若点M在y轴上 且∠OMB+∠OAB=∠ACB 求AM的长
如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴相交于点B(-2,0)和C,O为坐标原点 若点M在y轴上 且∠OMB+∠OAB=∠ACB 求AM的长
^2是平方
由于抛物线y=x^2/2+bx+c过A(0,-4),B(-2,0)
所以-4=0^2/2+0*b+c,0=(-2)^2/2-2b+c
解得b=-1,c=-4,所以抛物线的方程为y=x^2/2-x-4
令y=0,解得x=-2,4,所以C(4,0)
设M(0,y),并在y轴上取一点N(0,-2)
已知A(0,-4),B(-2,0),C(4,0),O(0,0)
所以OA=OC=4,OB=ON=2,OM=|y|
由OA=OC,OB=ON,∠BON=∠AOC=90°得△AOB≌△CON
所以∠OAB=∠OCN,而已知∠OMB+∠OAB=∠ACB
所以∠OMB=∠ACB-∠OAB=∠ACB-∠OCN=∠ACN
所以有tan∠OMB=tan∠ACN
在Rt△BOM中,∠BOM=90°,tan∠OMB=OB/ON=2/|y|
若过N作NH⊥AC于H,则在Rt△CHO中,∠CHO=90°,所以tan∠ACN=HN/CN
所以2/|y|=HN/CN,只要求出HN/CN,就可以得到y,以及M的坐标,也就可以解AM的长
由于AO=CO,∠AOC=90°,所以△ACO是等腰直角三角形,∠NAH=45°
而NH⊥AC于H,即∠NHA=90°,加上∠NAH=45°,所以△AHN是等腰直角三角形
有AH=HN,且AH^2+HN^2=AN^2,所以HN^2+HN^2=AN^2,HN=√2AN/2
而AN=AO-ON=4-2=2,所以HN=√2*2/2=√2,则AH=HN=√2
在Rt△AOC中,∠AOC=90°,所以AC=√(AO^2+CO^2)=√(4^2+4^2)=4√2
所以CH=AC-AH=4√2-√2=3√2,则HN/CN=√2/(3√2)=1/3
而已证2/|y|=HN/CN,所以2/|y|=1/3,y=±6
当y=6时,M(0,6),由A(0,-4)得AM=6-(-4)=10
当y=-6时,M(0,-6),由A(0,-4)得AM=-4-(-6)=2
所以AM=2或10
代A于抛物线中解得:c=-4,代B于抛物线中解得:b=-1,从而抛物线为：y=1/2x²-x-4，所以有点C(4，0），而tan(∠ACB)=4/4=1所以：∠ACB=pai/4,tan( ∠OAB)=2/4=1/2,再设M（0，y)从而据tan(∠OMB)=tan(pai/4-arctan(1/2))=2/y=(1-1/2)/(1+1/2)=1/3所以：y=6,所以：AM=6+4=10。