a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f(x),使f(a)=0

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 16:54:37
a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f(x),使f(a)=0

a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f(x),使f(a)=0
a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f(x),使f(a)=0

a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f(x),使f(a)=0
证明:因为(√2+√3)(√2-√3)=-1, (√2+√3)+(√2-√3)=2√2
故√2+√3是方程x^2-2√2x-1=0的根
x^2-2√2x-1=0,乘以x^2+2√2x-1得:
(x^2-1)^2-(2√2x)^2=0,即:x^4-10x^2+1=0
取f(x)=x^4-10x^2+1,则f(x)为有理数域上的不可约多项式,且:f(a)=0

首先,题目是存在性证明,故找到一个有理数域上的不可约多项式即可。
其次,如何找到这个不可约多项式。从加根a^1=根号2+根号3出发,考虑其有根号2,根号3两项系数,需要通过加减消去前面的系数,比较困难;
考虑a^2=5+2*根号6,此时只有一项为为无理数,可考虑在多项式中加入二次项。不考虑三次项,考虑其二项式展开,必定为a*根号2+b*根号3形式,且a,b其系数不相等,故不考虑;<...

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首先,题目是存在性证明,故找到一个有理数域上的不可约多项式即可。
其次,如何找到这个不可约多项式。从加根a^1=根号2+根号3出发,考虑其有根号2,根号3两项系数,需要通过加减消去前面的系数,比较困难;
考虑a^2=5+2*根号6,此时只有一项为为无理数,可考虑在多项式中加入二次项。不考虑三次项,考虑其二项式展开,必定为a*根号2+b*根号3形式,且a,b其系数不相等,故不考虑;
然后考虑a^4=49+20*根号6,刚好只有根号6一项为无理数,如利用系数加减的方法,构造多项式f(x)=x^4-10x^2+c,其中c为常数,再代入a确定c为1,故多项式为f(x)=x^4-10*x^2+1。
最后检验其是否为有理数域上不可约多项式,发现其为本原多项式,故满足题目条件。命题得以证明。

收起

存在有理数域上的不可约多项式f(x)=a^4-10a^2+1
此时f(a)=0。
存在性问题,能举出实例也就证明了。