作业帮已知三角形ABC的内角A.B.C的对边分别是a.b.c且A-C=90度,a+c=根号2 b,求角C是多少?《注：b不在根号内>
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 23:48:19
已知三角形ABC的内角A.B.C的对边分别是a.b.c且A-C=90度,a+c=根号2 b,求角C是多少?《注：b不在根号内>
已知三角形ABC的内角A.B.C的对边分别是a.b.c且A-C=90度,a+c=根号2 b,求角C是多少?《注：b不在根号内>
已知三角形ABC的内角A.B.C的对边分别是a.b.c且A-C=90度,a+c=根号2 b,求角C是多少?《注：b不在根号内>
A=C+90,所以sinA=sin(C+90)=cosC
B=180-A-C=90-2C,所以sinB=cos(2C)
a+c=根号2 b,所以sinA+sinC=根号2*sinB,cosC+sinC=根号2*sin(C+45)=根号2*cos(2C)
所以sin(C+45)=cos(2C)=sin(180-2C),所以C+45=180-2C或C+45+180-2C=180,得C=45（舍去,A=135,B=0）或15
A-C=90°，可知A>90，C<90. 则sinA=cosC.A+B+C=180°，B+2C=90°
a+c=根号2b。有正弦定理可知：sinA+sinC=根号2sinB，进一步cosC+sinC=根号2sinB。
两边同时平方：1+2sinCcosC=2sin²B，2sinCcosC=2sin²B-1，sin2C=1-2cos²B。
又因...
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A-C=90°，可知A>90，C<90. 则sinA=cosC.A+B+C=180°，B+2C=90°
a+c=根号2b。有正弦定理可知：sinA+sinC=根号2sinB，进一步cosC+sinC=根号2sinB。
两边同时平方：1+2sinCcosC=2sin²B，2sinCcosC=2sin²B-1，sin2C=1-2cos²B。
又因为B+2C=90° sin2C=cosB，所以cosB=1-2cos²B。解得cosB=0.5或cosB=1（舍去）
B=60°或B=120°（舍去）C=15°
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