作业帮已知函数f(x)=x^2+|x-a|,[a大于等于0],求f(x)的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 19:01:23
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已知函数f(x)=x^2+|x-a|,[a大于等于0],求f(x)的最小值
已知函数f(x)=x^2+|x-a|,[a大于等于0],求f(x)的最小值
已知函数f(x)=x^2+|x-a|,[a大于等于0],求f(x)的最小值
函数f(x)=x^2+|x-a|,[a大于等于0]
当x大于或等于a,原函数f(x)=x^2+x-a=(x+1/2)^2-(a+1/4).此时当x=-1/2时,f(x)取得最小值-（a+1/4）
当x小于a,原函数f(x)=x^2-x+a=(x-1/2)^2+(a-1/4).此时当x=1/2时,f(x)取得最小值a-1/4
比较f(x)两个最小值：-（a+1/4),a-1/4
由于题意给出a大于等于0
所以：-（a+1/4)小于a-1/4
故f(x)在x=-1/2时取得最小值-（a+1/4)
f(x)=x^2+|x-a|,[a大于等于0],
（1）x≥a时,
∵a≥0;
∴x≥a≥0;
f(x)=x^2+x-a
求导： f'(x)=2x+1=0
==>x=-1/2时，
与x≥a≥0矛盾;
（2）x＜a时,
∵a≥0;
...
全部展开
f(x)=x^2+|x-a|,[a大于等于0],
（1）x≥a时,
∵a≥0;
∴x≥a≥0;
f(x)=x^2+x-a
求导： f'(x)=2x+1=0
==>x=-1/2时，
与x≥a≥0矛盾;
（2）x＜a时,
∵a≥0;
∴x可取小于a的值，包括负数;
f(x)=x^2-x+a
求导： f'(x)=2x-1=0
==>x=1/2时,
有（1）（2）得:
∴ x＜a,a≥0,x=1/2时,有最值，
又因为，f(x)=x^2-x+a图像开口向上，
∴又最小值：
min[f(x)]=x^2+|x-a|,
=(1/2)^2-1/2+a
=a-1/4;
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