已知函数f（x）=ax-1-lnx （a∈R） ①求f（x）单调区间：②若函数在f（x）在x=1时取得极值 对任意x∈（0,正无穷）,f（x）≥bx-2 求实数b的取值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 05:07:33
已知函数f（x）=ax-1-lnx （a∈R） ①求f（x）单调区间：②若函数在f（x）在x=1时取得极值 对任意x∈（0,正无穷）,f（x）≥bx-2 求实数b的取值

已知函数f（x）=ax-1-lnx （a∈R） ①求f（x）单调区间：②若函数在f（x）在x=1时取得极值 对任意x∈（0,正无穷）,f（x）≥bx-2 求实数b的取值
已知函数f（x）=ax-1-lnx （a∈R） ①求f（x）单调区间：
②若函数在f（x）在x=1时取得极值
对任意x∈（0,正无穷）,f（x）≥bx-2 求实数b的取值

已知函数f（x）=ax-1-lnx （a∈R） ①求f（x）单调区间：②若函数在f（x）在x=1时取得极值 对任意x∈（0,正无穷）,f（x）≥bx-2 求实数b的取值
①f(x)=ax-1-lnx 定义域是x>0
求导得到f‘（x）=a-1/x
当a0时,令a-1/x>0 得到x>1/a
令a-1/x

  1. 定义域：（0，+∞）

    求导，令f'(x)=a-1/x=0，x=1/a,单增区间（1/a,+∞），单减区间（0,1/a）

    所以这里就要对a的范围再讨论一下了，a≥0和a＜0的情况

  2. 很明显，此时a=1

    令g(x)=f(x)-bx+2=(1-b)x-lnx+1

    求导，g‘（x）=1-b-1/x

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    1. 定义域：（0，+∞）

      求导，令f'(x)=a-1/x=0，x=1/a,单增区间（1/a,+∞），单减区间（0,1/a）

      所以这里就要对a的范围再讨论一下了，a≥0和a＜0的情况

    2. 很明显，此时a=1

      令g(x)=f(x)-bx+2=(1-b)x-lnx+1

      求导，g‘（x）=1-b-1/x

      若b≥1，g(x)单调递减，很容易验证当x>e后，g(x)<0;

      所以，b<1

      令g'（x）=0,x=1/(1-b),此时取得最小值

      g(1/(1-b))=2-In(1/(1-b))≥0

         0<1/1-b≤e²

      b<1-1/e²

       

    收起

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