已知函数f(x)=x²+a²/x(a>0),求证:函数f(x)在区间(0,a]上是减函数.是（x²+a²）/x

已知函数f(x)=x²+a²/x(a>0),求证:函数f(x)在区间(0,a]上是减函数.是（x²+a²）/x
已知函数f(x)=x²+a²/x(a>0),求证:函数f(x)在区间(0,a]上是减函数.
是（x²+a²）/x

已知函数f(x)=x²+a²/x(a>0),求证:函数f(x)在区间(0,a]上是减函数.是（x²+a²）/x
f(x)=（x²+a²）/x(a>0)
=x+a²/x
任取x1,x2∈(0,a)且x1

证0f(x2)-f(x1)=x2^2-x1^2+a^2(1/x2-1/x1)
=(x2+x1)(x2-x1)+a^2(x1-x2)/x1x2
=(x2-x1)(x2+x1-a^2/x1x2)
=(x2-x1)(x2^2+x1x2-a^2)/x1x2
x2^2+x1x2-a^2=-(a^2-x2)^2+x1x2-ax2
-(a^2-x2)^2<0
x1x2-ax2<0
x2^2+x1x2-a^2<0
(x2-x1)>0
(x2-x1)(x2^2+x1x2-a^2)/x1x2<0
f(x2)-f(x1)<0

假设a>=x2>x2>0
那么f(x2)-f(x1)=x2+a²/x2-x1-a²/x1
=(x2-x1)-a²(x2-x1)/(X1*X2)
=(x2-x1)(1-a²/X1*X2)
因为a>=x2>x2>0
所以X1*X2

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假设a>=x2>x2>0
那么f(x2)-f(x1)=x2+a²/x2-x1-a²/x1
=(x2-x1)-a²(x2-x1)/(X1*X2)
=(x2-x1)(1-a²/X1*X2)
因为a>=x2>x2>0
所以X1*X2所以a²/X1*X2>1
所以(1-a²/X1*X2)<0
而(x2-x1)>0
所以(x2-x1)(1-a²/X1*X2)<0
既f(x2)-f(x1)<0
所以递减

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