已知函数f（x）=（ax+b）÷（x平方+1）是定义在（-1,1）上的奇函数,且f（1／2）=-2／5,求函数f（x）的解析式；判断单调性；解不等式f（t-1）+f（t）＜0

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 11:13:15

已知函数f（x）=（ax+b）÷（x平方+1）是定义在（-1,1）上的奇函数,且f（1／2）=-2／5,求函数f（x）的解析式；判断单调性；解不等式f（t-1）+f（t）＜0
已知函数f（x）=（ax+b）÷（x平方+1）是定义在（-1,1）上的奇函数,
且f（1／2）=-2／5,求函数f（x）的解析式；判断单调性；解不等式f（t-1）+f（t）＜0

已知函数f（x）=（ax+b）÷（x平方+1）是定义在（-1,1）上的奇函数,且f（1／2）=-2／5,求函数f（x）的解析式；判断单调性；解不等式f（t-1）+f（t）＜0
1、f(x)=(ax+b)/(1+x^2)
因为：f(x)是奇函数,
所以：f(0)=b=0,即：f(x)=ax/(1+x^2).
又因为f(1/2)=2/5
所以：a(1/2)/(1+(1/2)^2)=2/5
即：a(1/2)/(1+1/4)=a(2/5)=2/5
所以：a=1
所以,所求解析式为：f(x)=x/(1+x^2).
2、设x1＜x2,且x1,x2∈(-1,1)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
显然,上式中分母＞0,我们只需考查分子.
分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)
=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)
=(x2-x1)(1-x1x2)
因为x1,x2∈(-1,1),所以x1x2＜1,即：1-x1x2＞0
又因为x1＜x2,所以x2-x1＞0
所以：当x2＞x1时,f(x2)＞f(x1)
即：在(-1,1)定义域内,f(x)是增函数.
3、解不等式f(t-1)+f(t)＜0
因为：f(x)=x/(1+x^2).
所以不等式变为：
(t-1)/(1+(t-1)^2)+t/(1+t^2)＜0
[(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)]/[(1+(t-1)^2)(1+t^2)]＜0
因为分母＞0,
所以(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)＜0
即：2t^3-3t^2+3t-1＜0
t^3+(t-1)^3＜0
t^3-(1-t)^3＜0
因为t-1,t∈(-1,1),所以t∈(0,1).
所以上述不等式变为
t^3＜(1-t)^3
t＜1-t
2t＜1
t＜1/2
前面我们有t∈(0,1),
所以,不等式的解为：
0＜t＜1/2