作业帮如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=PD,M,N分别为AB,PC中点,求证MN垂直平面PCD
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:37:54
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=PD,M,N分别为AB,PC中点,求证MN垂直平面PCD
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=PD,M,N分别为AB,PC中点,求证MN垂直平面PCD
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=PD,M,N分别为AB,PC中点,求证MN垂直平面PCD
解析：
根据题意我们可以知道PA⊥PD；
而平面PAD⊥平面ABCD
PA=PD
所以点P在平面ABCD上的射影是AD的中点
又因为AD⊥CD
所以PA⊥DC
既PA⊥面PCD
如果取PD中点为F
则四边形AMNF为平行四边形
若MN⊥面PCD
那么AF⊥面PCD
这与PA⊥面PCD矛盾
所以这道题无解
不垂直啊。。简单来说，设AB为x轴方向，M的x方向的坐标是1，N是0.5，MN怎么都不可能和CD垂直啊。。
取PD的中点O，连接AO、NO、MN
PA⊥平面ABCD,则PA⊥CD，矩形ABCD中，AD⊥CD，可知CD⊥平面PAD
可知 CD⊥AO，而PA=AD，PA⊥AD，则在等腰直角三角形PAD中，斜边上的中线AO也是斜边上的高，可知：AO⊥PD，所以：AO⊥平面PCD
AM//=CD/2,同时中位线NO//=CD/2,即AM//=NO,可知AMNO是平行四边形，则MN//AO...
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取PD的中点O，连接AO、NO、MN
PA⊥平面ABCD,则PA⊥CD，矩形ABCD中，AD⊥CD，可知CD⊥平面PAD
可知 CD⊥AO，而PA=AD，PA⊥AD，则在等腰直角三角形PAD中，斜边上的中线AO也是斜边上的高，可知：AO⊥PD，所以：AO⊥平面PCD
AM//=CD/2,同时中位线NO//=CD/2,即AM//=NO,可知AMNO是平行四边形，则MN//AO
所以 MN⊥平面PCD，而MN在平面PMC内
所以 平面PMC垂直平面PCD
收起
内开门两条内裤
以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系
设AB=a AD=AP=b ∴B（a,0,0） C(a,b,0) D(0,b,0) P(0,0,b) M(a/2,b/2,b/2) N(a/2,0,0)
MN=(0,-b/2,-b/2) PC=(a,b,-b) PD=(0,b,-b)
设n=(x,y,z)为面PCD的法向量...
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以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系
设AB=a AD=AP=b ∴B（a,0,0） C(a,b,0) D(0,b,0) P(0,0,b) M(a/2,b/2,b/2) N(a/2,0,0)
MN=(0,-b/2,-b/2) PC=(a,b,-b) PD=(0,b,-b)
设n=(x,y,z)为面PCD的法向量 ∴有ax+by-bz=0 by-bz=0 所以x=0 令y=1 所以z=1
∴n（0,1,1） ∴MN=-(b/2) n 所以MN//n 故MN垂直于面PCD
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