已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=2√3/3,过点A（a,0)B(0,-b)的直线到原点的距离是√3/2.Ⅰ、求双曲线方程.Ⅱ、过点B作直线m交双曲线于M、N两点.若向量OM·向量ON＝－23,求直线m的方程.主要是问

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 00:20:30

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=2√3/3,过点A（a,0)B(0,-b)的直线到原点的距离是√3/2.Ⅰ、求双曲线方程.Ⅱ、过点B作直线m交双曲线于M、N两点.若向量OM·向量ON＝－23,求直线m的方程.主要是问
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=2√3/3,过点A（a,0)B(0,-b)的直线到原点的距离是√3/2.
Ⅰ、求双曲线方程.
Ⅱ、过点B作直线m交双曲线于M、N两点.若向量OM·向量ON＝－23,求直线m的方程.
主要是问第二问，请步骤写的清晰些，

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=2√3/3,过点A（a,0)B(0,-b)的直线到原点的距离是√3/2.Ⅰ、求双曲线方程.Ⅱ、过点B作直线m交双曲线于M、N两点.若向量OM·向量ON＝－23,求直线m的方程.主要是问
（1）离心率e=c/a=2√3/3 => c²/a²=4/3 =>b²/a²=c²/a²-1=1/3 ①
直线l斜率为b/a,方程为y=bx/a -b 即bx-ay-ab=0
原点到直线l的距离√3/2=|0+0-ab|/√(a²+b²) ②
①②两式联立解得：a=√3,b=1,c=2
双曲线方程为x²/3 - y² =1
（2）设直线m方程为y=kx-1,与双曲线方程联立得：(3k²-1)x²-6kx+6=0
由韦达定理可知：x1+x2=6k/(3k²-1),x1x2=6/(3k²-1)
y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k²x1x2-k(x1+x2)+1=6k²/(3k²-1)-6k²/(3k²-1) +1=1
(向量OM)·（向量ON)= -23=x1x2+y1y2=6/(3k²-1) +1
解得k=±2
所以直线m方程为y=2x-1或y=-2x-1

e=c/a=2√3/3
c^2=a^2+b^2=4/3*a^2
a^2=3b^2
直线AB: x/a-y/b-1=0
原点到直线的距离: d=|-1|/√|(1/a^2+1/b^2)=√3/2*b=√3/2.
b=1
a^2=3
双曲线: x^2/3-y^2=1
设直线MN斜率为：k，则：
方程为：y+1=kx，
代...

全部展开

e=c/a=2√3/3
c^2=a^2+b^2=4/3*a^2
a^2=3b^2
直线AB: x/a-y/b-1=0
原点到直线的距离: d=|-1|/√|(1/a^2+1/b^2)=√3/2*b=√3/2.
b=1
a^2=3
双曲线: x^2/3-y^2=1
设直线MN斜率为：k，则：
方程为：y+1=kx，
代入x^2/3-y^2=1，消去y，得：
(3k^2-1)x^2-6kx+6=0,
x1*x2=6/(3k^2-1)
消去x，得：
(3k^2-1)y^2-2y+(3k^2-1)=0,
y1*y2=1
向量OM=(x1, y1), 向量ON=(x2, y2)
向量OM·向量ON=x1*x2+y1*y2=-23
6/(3k^2-1)+1=-23
3k^2-1=-1/4
k=1/2, 或 k=-1/2
直线m的方程：x-2y-2=0，或x+2y+2=0。

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