在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠CAB＝30°,∠ACB的角平分线CE与∠CBA的外角平分线BE交于点E,求证∠AEB几度这是一道2003年山东数学竞赛题,我考虑了很久,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 08:18:38

在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠CAB＝30°,∠ACB的角平分线CE与∠CBA的外角平分线BE交于点E,求证∠AEB几度这是一道2003年山东数学竞赛题,我考虑了很久,
在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠CAB＝30°,∠ACB的角平分线CE与∠CBA的外角平分线BE交于点E,求证∠AEB几度
这是一道2003年山东数学竞赛题,我考虑了很久,

在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠CAB＝30°,∠ACB的角平分线CE与∠CBA的外角平分线BE交于点E,求证∠AEB几度这是一道2003年山东数学竞赛题,我考虑了很久,
过点E作EM⊥AC,交CA延长线于M,作EN⊥BC,交CB延长线于N,作EG⊥AB于G
∵∠ACB＝90,∠CAB＝30
∴∠ABN＝∠ACB+∠CAB＝120,∠BAM＝180-∠CAB＝150
∵CE平分∠ACB,EN⊥BC,EM⊥AC
∴EM＝EN
∵BE平分∠ABN,EN⊥BC,EG⊥AB
∴EN＝EG,∠ABE＝∠ABN/2＝60
∴EG＝EM
∴AE平分∠BAM
∴∠BAE＝∠BAM/2＝75
∴∠AEB＝180-（∠ABE+∠BAE）＝45°

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过E点作CB的垂线，交于CB的延长于D点；
过A点作BE的垂线，交于N点，过N点作CB的平行线，交ED于M点；
由于∠CBA=60度，BE又是其外角平分线，则∠ABE=60度，可推得AN=AC=√3.BC;
由于CE是∠ACB的角平分线，在RT三角形CDE中，CD=ED=√3,BE/2；(1)
又CD=BC+BD=BC+BE/2; 代入（1）得BE=2.BC/(√3-1); (2)
BE=BN+EN=BC+EN; 代入（2)得EN=(3-√3).BC/(√3-1);
在三角开ANE中，tan(∠AEB)=AN/EN=√3.BC/((3-√3).BC/(√3-1))=1;
所以∠AEB=45度
http://zhidao.baidu.com/question/321885839.html
法2；
过E做EF,EG,EH垂直CA,AB,CD
EF=EG=EH
AE=AE EFA=EGA=90
EFA全等EGA 得AE是BAF平分线，BAE=(180-30)/2=75
AEB=180-75-(180-60)/2=45

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