如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合）,连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°）,得到△A1B1P,连接AA1,射线AA1分别交射线PB、射线B1B于

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 05:49:51

如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合）,连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°）,得到△A1B1P,连接AA1,射线AA1分别交射线PB、射线B1B于
如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合）,连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°）,得到△A1B1P,连接AA1,射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．
（1）如图1,当0°＜α＜60°时,在α角变化过程中,△BEF与△AEP始终存在
关系（填“相似”或“全等”）,并说明理由；
（2）如图2,设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF与△AEP全等?若存在,求出α与β之间的数量关系；若不存在,请说明理由；
（3）如图3,当α=60°时,点E、F与点B重合．已知AB=4,设DP=x,△A1BB1的面积为S,求S关于x的函数关系式．

如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合）,连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°）,得到△A1B1P,连接AA1,射线AA1分别交射线PB、射线B1B于
（1）相似
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α,AP=A1P,BP=B1P,
则∠PAA1=∠PBB1=(180°-α)/2=90°-α/2
∵∠PBB1=∠EBF,
∴∠PAE=∠EBF,
又∵∠BEF=∠AEP,∠EBF=∠EAP,
∴△BEF∽△AEP；

（2）存在,理由如下：
∵∠PAE=∠EBF,∠AEP=∠BEF,
∴△BEF∽△AEP,
若要使得△BEF≌△AEP,只需要满足BE=AE即可,
∴∠BAE=∠ABE,
∵∠BAC=60°,
∴∠BAE=60°-(90°-α/2)=α/2-30°
∵∠ABE=β,∠BAE=∠ABE,
α/2-30°=β
即α=2β+60°

（3）连接BD,交A1B1于点G,
过点A1作A1H⊥AC于点H．
∵∠B1A1P=∠A1PA=60°,
∴A1B1∥AC,
由题意得：AP=A1P=2+x,∠A=60°,
∴△PAA1是等边三角形,
∴A1H=sin60°A1P=[(根号3)/2]乘以（2+x）
在Rt△ABD中,BD=2倍根号3
∴BG=2倍根号3-[(根号3)/2]乘以（2+x）=根号3-(根号3)/2 x
∴S△A1BB1=1/2 x 4 x 根号3-(根号3)/2 x=2倍根号3-(根号3)x（0≤x＜2）