作业帮在四棱锥P-ABCD 底面ABCD是矩形PA垂直于平面ABCD PA=AD=4 AB=2 以BD的中在四棱锥P-ABCD 底面ABCD是矩形PA垂直于平面ABCD PA=AD=4 AB=2 点M是pd的中点（1）求证 平面ABM垂直于平面PCD（2）求直线PC与平面ABM所
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 16:52:41
在四棱锥P-ABCD 底面ABCD是矩形PA垂直于平面ABCD PA=AD=4 AB=2 以BD的中在四棱锥P-ABCD 底面ABCD是矩形PA垂直于平面ABCD PA=AD=4 AB=2 点M是pd的中点（1）求证 平面ABM垂直于平面PCD（2）求直线PC与平面ABM所
在四棱锥P-ABCD 底面ABCD是矩形PA垂直于平面ABCD PA=AD=4 AB=2 以BD的中
在四棱锥P-ABCD 底面ABCD是矩形PA垂直于平面ABCD PA=AD=4 AB=2 点M是pd的中点
（1）求证 平面ABM垂直于平面PCD
（2）求直线PC与平面ABM所成的角
的余弦值（3）求点c到平面ABM的距离
在四棱锥P-ABCD 底面ABCD是矩形PA垂直于平面ABCD PA=AD=4 AB=2 以BD的中在四棱锥P-ABCD 底面ABCD是矩形PA垂直于平面ABCD PA=AD=4 AB=2 点M是pd的中点（1）求证 平面ABM垂直于平面PCD（2）求直线PC与平面ABM所
(1)
证明
∵ABCD是矩形
∴CD⊥AD
∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CD
∵PA∩AD=A
∴CD⊥面PAD
∴CD⊥AM
∵PA=AD,M是PD中点
∴AM⊥PD
∵CD∩PD=D
∴AM⊥面PCD
∵AM在面ABM内
∴面ABM⊥面PCD
（2）
取PC中点N,连接MN,BN
∵M是PD中点
∴MN//CD//AB
∴A,M,N,B四点共面
∵PD⊥AM
PD⊥CD
∴PD⊥MN
∴PD⊥面AMNB
∴∠PNM是直线PC与平面ABM所成的角
∵MN//CD
∴∠PNM=∠PCD
∵PA=AD=4 AB=2
∴AC=6
cos∠PCD=CD/PC=2/6=1/3
(3)
∵O是BD的中点,
则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,
由（1）知,PD⊥平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM的距离,
因为在Rt△PAD中,PA=AD=4,PD⊥AM,
所以M为PD的中点,DM=2√2
则O点到平面ABM的距离等于√2
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