作业帮圆内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点E,如果E是BD的中点,求证：AC的平方=0.5（AB的平方+BC的平方+CD的平方+DA的平方）请写出证明过程怎么计算啊，我算不出来
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 05:58:52
圆内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点E,如果E是BD的中点,求证：AC的平方=0.5（AB的平方+BC的平方+CD的平方+DA的平方）请写出证明过程怎么计算啊，我算不出来
圆内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点E,如果E是BD的中点,求证：AC的平方=0.5（AB的平方+BC的平方+CD的平方+DA的平方）
请写出证明过程
怎么计算啊，我算不出来
圆内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点E,如果E是BD的中点,求证：AC的平方=0.5（AB的平方+BC的平方+CD的平方+DA的平方）请写出证明过程怎么计算啊，我算不出来
这道题你要是自学了余弦定理将会很简单,连辅助线都不用做就可以解决.不过用勾股定理要添加辅助线.现用勾股定理解决.
过A作BD的垂线交BD于F,为了方便书写,设AB=a,AD=b,BE=ED=x,AE=y,BF=t,FE=x-t
对于△ABF和△AEF,分别用勾股定理AF²=a²-t²,AF²=y²-(x-t)²
所以a²-t²=y²-(x-t)²,
展开后化简得到:a²=y²-x²+2xt.(1)
对于△AFE和△AFD有AF²=y²-(x-t)²,AF²=b²-(2x-t)²
所以y²-(x-t)²=b²-(2x-t)²
化简得到:b²=y²+3x²-2xt.(2)
将(1)+(2)得到:a²+b²=2(y²+x²)
即AB²+AD²=2(AE²+BE²).(3)
仿照上面的方法可以得到:
BC²+DC²=2(EC²+BE²).(4)
将(3)+(4)得到:AB²+AD²+BC²+DC²=2(AE²+EC²+2BE²).(5)
由相交弦定理有:AE*EC=BE*DE=BE²
将BE²=AE*EC代入到(5)得到:
AB²+AD²+BC²+DC²=2(AE²+EC²+2AE*EC)=2(AE+EC)²=2AC²
所以AC²=(AB²+AD²+BC²+DC²)/2
过B、D两点作AC的垂线。可得全等三角形。
用勾股和相交弦定理可证。
很好的题目，可惜计算量太大了。写了一页多。打上来就的累够呛。对不起了。