如图,在三角形ABC中,AB=AC,P为BC上一点,PE垂直与AB于E,PF垂直与AC于F,CG垂直与AB于G,求证：PE+PF=C

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 23:59:00

如图,在三角形ABC中,AB=AC,P为BC上一点,PE垂直与AB于E,PF垂直与AC于F,CG垂直与AB于G,求证：PE+PF=C
如图,在三角形ABC中,AB=AC,P为BC上一点,PE垂直与AB于E,PF垂直与AC于F,CG垂直与AB于G,求证：PE+PF=C

如图,在三角形ABC中,AB=AC,P为BC上一点,PE垂直与AB于E,PF垂直与AC于F,CG垂直与AB于G,求证：PE+PF=C
∠B=∠C,∠BDP=∠PEC=90度,三角形BDP∽三角形PEC
PB/PC=PD/PE,
又显然有DP‖CG,则CG/PD=CB/PB,即两边减1,有（CG-PD)/PD=PC/PB
由两式得PE/PD=（CG-PD)/PD
则有PE+PD=CG
连结AP,分为三角形ABP和三角形ACP
S(ABC)
=S(ABP)+S(ACP)
=(1/2)AB*PF+(1/2)AC*PE
=(1/2)AB*(PF*PE)
因为S(ABC)=(1/2)AB*CG
所以PF+PE=CG

1）PE+PF=CG
连结AP，
则S△ABC=S△ABP+S△ACP，
即 AB·CG=AB·PE+ AC·PF
因为 AB=AC，所以 CG=PE+PF.
（2）当点P在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，有PE-PF=CG．
理由：连结AD，
则S△ABD=S△ABC+S△ACP，
即AB·PE= AB·CG+...

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1）PE+PF=CG
连结AP，
则S△ABC=S△ABP+S△ACP，
即 AB·CG=AB·PE+ AC·PF
因为 AB=AC，所以 CG=PE+PF.
（2）当点P在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，有PE-PF=CG．
理由：连结AD，
则S△ABD=S△ABC+S△ACP，
即AB·PE= AB·CG+ AC·PF
因为 AB=AC，
所以 PE=CG+PF，即PE-PF=CG．
当P点在CB的延长线上时，则有PF-PE=CG，理由同上．

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