作业帮一道概率论与数理统计的问题~.设两个不同的电子元件的使用寿命分别为X,Y(以小时计) 且X与Y相互独立,其概率密度分别为f(x)= 1000/x^2 (x>1000) 0 (其他)f(y)=1000/y^2 (y>1000) 0 (其他)求Z=X/Y的概率密度fz
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 12:03:19
一道概率论与数理统计的问题~.设两个不同的电子元件的使用寿命分别为X,Y(以小时计) 且X与Y相互独立,其概率密度分别为f(x)= 1000/x^2 (x>1000) 0 (其他)f(y)=1000/y^2 (y>1000) 0 (其他)求Z=X/Y的概率密度fz
一道概率论与数理统计的问题~.
设两个不同的电子元件的使用寿命分别为X,Y(以小时计) 且X与Y相互独立,其概率密度分别为
f(x)= 1000/x^2 (x>1000) 0 (其他)
f(y)=1000/y^2 (y>1000) 0 (其他)
求Z=X/Y的概率密度fz（z）
一道概率论与数理统计的问题~.设两个不同的电子元件的使用寿命分别为X,Y(以小时计) 且X与Y相互独立,其概率密度分别为f(x)= 1000/x^2 (x>1000) 0 (其他)f(y)=1000/y^2 (y>1000) 0 (其他)求Z=X/Y的概率密度fz
FZ(z)=P(Z<=z)=P(X<=zY)
f(x,y)=10^6 (xy)^(-2)
若x>y(z>1)
P(X<=zY)=10^6∫(1000~无穷)∫(1000~zy) (xy)^(-2) dxdy
=10^6∫(1000~无穷)y^(-2)(1/1000-(zy)^(-1))dy
=10^6∫(1000~无穷)-y^(-1)/1000+[z^(-1)(y)^(-2)]/2 dy
=10^6(0+10^(-6)-(1000)^(-2)z^(-1)/2)
=1-z^(-1)/2
x<y时有些不一样,y出现了高於1000的下限
若x<y (0<z<1)
P(X<=zY)=10^6∫(1000/z~无穷)∫(1000~zy) (xy)^(-2) dxdy
=10^6∫(1000/z~无穷)-y^(-1)/1000+[z^(-1)(y)^(-2)]/2 dy
=10^6(0+10^(-6)z-(1000/z)^(-2)z^(-1)/2)
=z/2
Fz(z)=1-z^(-1)/2 z>1
=z/2 0<z<1
fz(z)=z^(-2)/2 z>1
=1/2 0<z<1