作业帮不是局限于高中所学的数学归纳法
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 22:03:01
不是局限于高中所学的数学归纳法
不是局限于高中所学的数学归纳法
不是局限于高中所学的数学归纳法
数学归纳法：数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立.
（一）第一数学归纳法：
一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n）,有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立.n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0,k为自然数）时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
综合（1）（2）,对一切自然数n（≥n0）,命题P(n）都成立.
（二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n）,
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设n0≤nn0）成立,能推出Q(k）成立,假设 Q(k）成立,能推出 P(k+1）成立； 综合（1）（2）,对一切自然数n（≥n0）,P(n）,Q(n）都成立.
变体及应用
在应用,数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求.下面介绍一些常见的数学归纳法变体.
从0以外的数字开始
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数,那么证明的步骤需要做如下修改： 第一步,证明当n=b时命题成立.第二步,证明如果n=m(m≥b）成立,那么可以推导出n=m+1也成立. 用这个方法可以证明诸如“当n≥3时,n2>2n”这一类命题.
针对偶数或奇数
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要做如下修改： 奇数方面： 第一步,证明当n=1时命题成立.第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立. 偶数方面： 第一步,证明当n=0或2时命题成立.第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立.
递降归纳法
数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题.对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题,如果对一般的n比较复杂,而n=m比较容易验证,并且我们可以实现从k到k-1的递推,k=1,...,m的话,我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m,原命题均成立.如果命题P(n）在n=1,2,3,.,t时成立,并且对于任意自然数k,由P(k),P(k+1）,P(k+2）,.,P(k+t-1）成立,其中t是一个常量,那么P(n）对于一切自然数都成立.
其它形式
如跳跃数学归纳法的定义 通常,跳跃数学归纳法的第二步总是由k推出,跨度为n .但是并不是对于所有的问题都能解决.
编辑本段合理性
数学归纳法的原理,通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）.但是在另一些公理的基础上,它可以用一些逻辑方法证明.比如,由下面的公理可以推出数学归纳法原理： 自然数集是良序的. 注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式.更确切地说,两者是等价的.
对了要采纳哦
数学归纳法是严谨的归纳,是一种证明方法