在正三棱锥A-BCD中,E和F是AB,BC的中点,EF垂直于DE,且BC=1,则正三棱锥A-BCD的体积是?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 13:42:57

在正三棱锥A-BCD中,E和F是AB,BC的中点,EF垂直于DE,且BC=1,则正三棱锥A-BCD的体积是?
在正三棱锥A-BCD中,E和F是AB,BC的中点,EF垂直于DE,且BC=1,则正三棱锥A-BCD的体积是?

在正三棱锥A-BCD中,E和F是AB,BC的中点,EF垂直于DE,且BC=1,则正三棱锥A-BCD的体积是?
解析：易知DF=√3/2,设棱AB=AC=AD=t,A在平面BCD上射影为O,AO=h,
∴EF=t/2,DE^2=3/4-t^2/4
sinBAD/2=1/2:t=1/2t,则cosBAD=1-2*(sinBAD/2)^2=1-1/(2t^2)
由余弦定理知cosBAD=(AE^2+AD^2-DE^2)/2*AE*AD=(t^2/4+t^2-3/4+t^2/4)/t^2
=(3t^2/2-3/4)/t^2
∴(3t^2/2-3/4)/t^2=1-1/(2t^2),解之t^2=1/2
显然h^2=AD^2-OD^2=t^2-(√3/3)^2=1/2-1/3=1/6
h=√6/6
S△BCD=1/2*1*1*sin60°=√3/4
∴VA-BCD=1/3*√3/4*√6/6=√2/24

这个题目怎么有点怪...？题目已经交代是正三棱锥，那么只要给出边长就直接可以求体积了...
OK，我直接告诉你，只要是正三棱锥，它的体积，表面积，内接球半径等等等等全部同它的边长成一定的比例关系。
正三棱锥的边长和体积的关系是1：√2/12
我的答案同楼上的一样...

全部展开

这个题目怎么有点怪...？题目已经交代是正三棱锥，那么只要给出边长就直接可以求体积了...
OK，我直接告诉你，只要是正三棱锥，它的体积，表面积，内接球半径等等等等全部同它的边长成一定的比例关系。
正三棱锥的边长和体积的关系是1：√2/12
我的答案同楼上的一样

收起

AC=BC=CD=1 DF=√3/2 A做DF垂线垂足在DF上为O
DO=√3/3 AO=AD2-DO2=√6/3 体积1/3*√3/4*√6/3=√2/12
天哪我不知对不对你看看吧