如题,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记D1P/D1B=λ,当∠APC为钝角时,λ的取值范围是

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 22:03:42

如题,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记D1P/D1B=λ,当∠APC为钝角时,λ的取值范围是
如题,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记D1P/D1B=λ,当∠APC为钝角时,λ的取值范围是

如题,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记D1P/D1B=λ,当∠APC为钝角时,λ的取值范围是
以D为原点、DC所在直线为x轴、DA所在直线为y轴、DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,并使点B1位于第一卦限内.
∵ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体,∴容易得出：B、D1的坐标依次是：
B（1,1,0）、D1（0,0,1）.得：向量D1B＝（1,1,－1）.
∵D1P/D1B＝λ,∴向量D1P＝λ向量D1B＝（λ,λ,－λ）.
∵ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体,∴容易得出：A、C的坐标依次是：
A（0,1,0）、（1,0,0）,又D1的坐标为（0,0,1）,
向量D1A＝（0,1,－1）、向量D1C＝（1,0,－1）、向量AC＝（1,－1,0）.
由向量D1P＝（λ,λ,－λ）、向量D1A＝（0,1,－1）、向量D1C＝（1,0,－1）,得：
向量PA＝（－λ,1－λ,λ－1）、向量PC＝（1－λ,－λ,λ－1）,
∴向量PA·向量PC＝λ^2－λ＋λ^2－λ＋λ^2－2λ＋1＝3λ^2－4λ＋1,
｜向量PA｜＝√［λ^2＋（1－λ）^2＋（λ－1）^2］＝√［λ^2＋2（λ－1）^2］,
｜向量PC｜＝√［（1－λ）^2＋λ^2＋（λ－1）^2］＝√［λ^2＋2（λ－1）^2］,
∴｜向量PA｜｜向量PC｜＝λ^2＋2（λ－1）^2.
∵∠APC为钝角,∴cos∠APC＜0,
∴cos∠APC＝向量PA·向量PC/（｜向量PA｜｜向量PC｜）＜0,
∴（3λ^2－4λ＋1）/［λ^2＋2（λ－1）^2］＜0,
∵λ^2＋2（λ－1）^2＞0,∴3λ^2－4λ＋1＜0,∴（3λ－1）（λ－1）＜0,∴1/3＜λ＜1.
即：满足条件的λ的取值范围是（1/3,1）.

∵棱长为1，∴AB=BC=1，D1A=D1C=√2，D1B=√3，AC=√2 ∠D1AB当∠APC为钝角时 cos∠APC=(AP^2+CP^2-AC^2)/(2AP·CP) =(2AP^2