从1到5000这5000个自然数中,有多少个各位数字之和能被4整除?

从1到5000这5000个自然数中,有多少个各位数字之和能被4整除?
从1到5000这5000个自然数中,有多少个各位数字之和能被4整除?

从1到5000这5000个自然数中,有多少个各位数字之和能被4整除?
设这自然数为1000a+100b+10c+d
其中a取值从0到4,b、c、d取值都是从0到9
则a+b+c+d=4n
因为a、b、c、d互不干扰,
所以a、b、c、d共有5000个取法
又因为a、b、c、d分别都是连续的
所以其和有1/4能被4整除
即5000/4=1250个
但按照上面的取值法,比题意多了0,少了5000
因为0符合条件,而5000不符合,所以要减去1个
所以有1249个自然数其各位数字之和能被4整除

1250个
5000/4=1250

1252个

先求0～9中的10个数除以4的余数为0,1,2,3的个数A0,A1,A2,A3。显然，为0的有3个(0,4,8)；为1的有3个(1,5,9)；为2的有2个(2,6)；为3的有2个(3,7)。即：
A0=3
A1=3
A2=2
A3=2

再求0～99中的100个数各位和除以4的余数为0,1,2,3的个数B0,B1,B2,B3。
余数为0的情...

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先求0～9中的10个数除以4的余数为0,1,2,3的个数A0,A1,A2,A3。显然，为0的有3个(0,4,8)；为1的有3个(1,5,9)；为2的有2个(2,6)；为3的有2个(3,7)。即：
A0=3
A1=3
A2=2
A3=2

再求0～99中的100个数各位和除以4的余数为0,1,2,3的个数B0,B1,B2,B3。
余数为0的情况：
当其中十位数除以4的余数为0时,个位数除以4的余数必须为0,个数为A0*A0；
当其中十位数除以4的余数为1时,个位数除以4的余数必须为3,个数为A1*A3；
当其中十位数除以4的余数为2时,个位数除以4的余数必须为2,个数为A2*A2；
当其中十位数除以4的余数为3时,个位数除以4的余数必须为1,个数为A3*A1；
所以0-99中余数为0的个数为B0：
B0=A0*A0+A1*A3+A2*A2+A3*A1
=3*3 +3*2 +2*2 +2*3
=25
同理可得：
B1=A0*A1+A1*A0+A2*A3+A3*A2
=3*3 +3*3 +2*2 +2*2
=26
B2=A0*A2+A1*A1+A2*A0+A3*A3
=3*2 +3*3 +2*3 +2*2
=25
B3=A0*A3+A1*A2+A2*A1+A3*A0
=3*2 +3*2 +2*3 +2*3
=24

接着求0～999中的1000个数各位和除以4的余数为0,1,2,3的个数C0,C1,C2,C3。
余数为0的情况：
当其中百位数除以4的余数为0时,个位数与十位数的和除以4的余数必须为0,个数为A0*B0；
当其中百位数除以4的余数为1时,个位数与十位数的和除以4的余数必须为3,个数为A1*B3；
当其中百位数除以4的余数为2时,个位数与十位数的和除以4的余数必须为2,个数为A2*B2；
当其中百位数除以4的余数为3时,个位数与十位数的和除以4的余数必须为1,个数为A3*B1；
所以0-99中余数为0的个数为C0：
C0=A0*B0+A1*B3+A2*B2+A3*B1
=3*25 +3*24 +2*25 +2*26
=249
同理可得：
C1=A0*B1+A1*B0+A2*B3+A3*B2
=3*26 +3*25 +2*24 +2*25
=251
C2=A0*B2+A1*B1+A2*B0+A3*B3
=3*25 +3*26 +2*25 +2*24
=251
C3=A0*B3+A1*B2+A2*B1+A3*B0
=3*24 +3*25 +2*26 +2*25
=249

再接着求0～4999中的5000个数各位和除以4的余数为0的个数D0。显然，
千位数为0时，各位和除以4的余数为0的个数就是低三位的各位和除以4的余数为0的个数C0；
千位数为1时，各位和除以4的余数为0的个数就是低三位的各位和除以4的余数为3的个数C3；

千位数为2时，各位和除以4的余数为0的个数就是低三位的各位和除以4的余数为2的个数C2；
千位数为3时，各位和除以4的余数为0的个数就是低三位的各位和除以4的余数为1的个数C1；
千位数为4时，各位和除以4的余数为0的个数就是低三位的各位和除以4的余数为0的个数C0。即D0=2C0+C1+C2+C3+=249*2+251+251+249=1337
其中0和4999满足条件但不在题目1～5000的范围内，需扣掉,所以
1～5000中各位和除以4的余数为0的数的个数为
D0+1-1=1337+1-1=1337
答：在1～5000中有1337个数字其各个位置上的数字之和能被4整除。


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