作业帮证明几何级数和调和级数的收敛和发散性级数咋这么难呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 02:07:23
证明几何级数和调和级数的收敛和发散性级数咋这么难呢?
证明几何级数和调和级数的收敛和发散性
级数咋这么难呢?
证明几何级数和调和级数的收敛和发散性级数咋这么难呢?
先看调和级数：
证明如下:
由于ln(1+1/n)<1/n （n=1,2,3,…）
于是调和级数的前n项部分和满足
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
根据比较审敛法：小的发散,大的肯定发散.
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.
置于几何级数看图片吧,太难输了.
不难，多看看书就是了。
级数太容易了，我一看到它就兴奋。我自己发现了许多关于级数的数学结论。
对于几何级数，用前n项和就能证明
1/（1-z）=1+z+z^2+z^3+……+z^n+……（z是复数，|z|<1)
对于调和级数1+（1/2）+（1/3）+……+（1/n）+……的发散性
可用复变函数项展开式
-ln（1-z）=z+(z^2/2)+(z^3/3)+……+(z^n/n)+…...
全部展开
级数太容易了，我一看到它就兴奋。我自己发现了许多关于级数的数学结论。
对于几何级数，用前n项和就能证明
1/（1-z）=1+z+z^2+z^3+……+z^n+……（z是复数，|z|<1)
对于调和级数1+（1/2）+（1/3）+……+（1/n）+……的发散性
可用复变函数项展开式
-ln（1-z）=z+(z^2/2)+(z^3/3)+……+(z^n/n)+…… 来证明
当z=1时，展开式右端的级数即为调和级数，但左端为-ln0（就是∞，∞是一个复数，没有正负），所以，展开式右端的级数发散。
收起