已知x,y满足x+2y=1,求(1/x)+(1/y) 的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 03:37:46
已知x,y满足x+2y=1,求(1/x)+(1/y) 的最小值

已知x,y满足x+2y=1,求(1/x)+(1/y) 的最小值
已知x,y满足x+2y=1,求(1/x)+(1/y) 的最小值

已知x,y满足x+2y=1,求(1/x)+(1/y) 的最小值
这道题用“1”的代换:将x+2y=1中的“1”带入到要求的式子中:
原式=(1/x)+(1/y)
=(x+2y)/x+(x+2y)/y
=3+(2y)/x+x/y
≥3+2√[(2y)/x][x/y]
=3+2√2
当且仅当(2y)/x=x/y时取“=”号,解得当x=√2-1,y=(2-√2)/2时取“=”号

先齐次化(1/x)+(1/y)=(x+2y)/x+(x+2y)/y
=3+2y/x+x/y=[√(2y/x)-√(x/y)]^2+2√2+3>=2√2+3
当且仅当√(2y/x)=√(x/y) ,x+2y=1 取到等号,此时x=√2-1,y=(2-√2)/2
所以最小值2√2+3