若b>a+c,则一元二次方程ax^2+bx+c有两个不相等的实数根

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 11:57:34

若b>a+c,则一元二次方程ax^2+bx+c有两个不相等的实数根
若b>a+c,则一元二次方程ax^2+bx+c有两个不相等的实数根

若b>a+c,则一元二次方程ax^2+bx+c有两个不相等的实数根
证明：b>a+c ∴ b^2>(a+c)^2 (a+c)^2-4ac=(a-c)^2>=0
∴(a+c）^2>=4ac ∴b^2>4ac b^2-4ac>0
∴方程有两个不相等的实数根

全部展开

∵b＞a+c. ∴a-b+c＜0.而当X=-1时，函数Y=aX²+bX+c的函数值Y=a-b+c＜0.也就表明二次函数Y=aX²+bX+c必过（-1，a-b+c＜0），也就是第三象限的点。此时分为2种情况：①当a＞0时，抛物线开口向上，二次函数的图象过（-1，a-b+c＜0），显然图象必定与X轴有2个交点，也就表明一元二次方程aX²+bX+c=0有2个不相等的实数根。②而当a＜0时，此时抛物线的开口向下，图象过
（-1，a-b+c＜0），大家可尝试画二次函数的图象，会出现三种情况，抛物线与X轴会有1个或2个，或没有交点。也就表明一元二次方程aX²+bX+c=0的根会出现3种不同情况。即两个相等的实数根，2个不相等的实数根，没有实数根。
∴原命题不一定成立！

收起

原题为错题，令a=b=c=-1，则x^2+x+1=0无解。注意：当0>b>a+c时，楼上的b^2>(a+c)^2是不成立的！
如果加一个条件b>a+c>0，则此题有如下证明：delta=b^2-4ac>(a+c)^2-4ac=(a-c)^2>=0,delta>0，方程有两个不等根