用两种方法证明三角形的角平分线定理
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/08 11:36:53
用两种方法证明三角形的角平分线定理
用两种方法证明三角形的角平分线定理
用两种方法证明三角形的角平分线定理
已知,如图,AM为△ABC的角平分线,求证AB/AC=MB/MC 已知和证明1图
证明:方法1:(面积法) S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM, S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM, ∴S△ABM:S△ACM=AB:AC 又△ABM和△ACM是等高三角形,面积的比等于底的比, 证明2图
即三角形ABM面积S:三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB/AC=MB/MC 方法2(相似形) 过C作CN‖AB交AM的延长线于N 则△ABM∽△NCM ∴AB/NC=BM/CM 又可证明∠CAN=∠ANC ∴AC=CN ∴AB/AC=MB/MC 证明3图
方法3(相似形) 过M作MN‖AB交AC于N 则△ABC∽△NMC, ∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN ∴AN=MN ∴AB/AC=AN/NC ∴AB/AC=MB/MC 方法4(正弦定理) 作三角形的外接圆,AM交圆于D, 由正弦定理,得, 证明4图
AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, ∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180° sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB/AC=MB/MC
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