作业帮以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD,△BEC,△ACF.证明（1）ADEF为平行四边形.（2）当△满足什么条件时,ADEF是菱形?矩形?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 14:49:42
以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD,△BEC,△ACF.证明（1）ADEF为平行四边形.（2）当△满足什么条件时,ADEF是菱形?矩形?
以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD,△BEC,△ACF.证明（1）ADEF为平行四边形.
（2）当△满足什么条件时,ADEF是菱形?矩形?
以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD,△BEC,△ACF.证明（1）ADEF为平行四边形.（2）当△满足什么条件时,ADEF是菱形?矩形?
先证明△BDE≌△BAC,可得DE=AC,而AC=AF,故AF=DE,同理,AD=EF,四边形ADEF为平行四边形.
证明：∵△ABD,△BEC,△ACF是等边三角形
∴BD＝AB,BC＝BE,AC＝AF,∠ABD＝∠EBC＝60°
∴∠ABD－∠ABE＝∠EBC－∠ABE
即∠EBD＝∠ABC
在△BDE和△BAC中
BD＝AB,∠EBD＝∠ABC,BC＝BE
∴△BDE≌△BAC
∴DE＝AC,
又∵AC＝AF
∴DE＝AF
同理,AD＝EF
∴四边形ADEF是平行四边形
（2）要使平行四边形ADEF是菱形,则需一组临边相等,如AD＝AF,那需AB＝AC,所以AB＝AC时四边形ADEF是菱形.
要使平行四边形ADEF是矩形,则需要有一个内角是直角,如∠DAF＝90°,又∠DAB＝∠FAC＝60°,所以∠BAC＝150°
（1）在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB，∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE，DE=AC。
△ACF是等边三角形，所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
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（1）在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB，∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE，DE=AC。
△ACF是等边三角形，所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC，EF=AB
因为△ABD是等边三角形，所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等，是平行四边形
（2）如果平行四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°，四边形ADEF是矩形
（3）当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线，四边形ADEF不存在)
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