作业帮三角形ABC,CD是AB边上的中线,角B是角A的三倍,角CDB为45°,求证ABC为直角三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 14:51:23
三角形ABC,CD是AB边上的中线,角B是角A的三倍,角CDB为45°,求证ABC为直角三角形
三角形ABC,CD是AB边上的中线,角B是角A的三倍,角CDB为45°,求证ABC为直角三角形
三角形ABC,CD是AB边上的中线,角B是角A的三倍,角CDB为45°,求证ABC为直角三角形
我们初三也在做哈.
1）我的解法：过D作DE⊥AB交AC于E,联结BE设∠A=X,则∠B=3X
∵BD=AD,DE⊥AB （中垂线定理）∴BE=AE ∴∠EBA=∠A=X ∴∠EBC=3X-X=2X
∵∠CEB=∠EBA+∠A=X+X=2X（外角） ∴∠EBC=∠CEB ∴BC=CE
再过C作CF⊥DE于F,CH⊥AB于H
四边形CFDH中有3个90°了,再加一个对角线和一边夹角是45°（∠CDB）,
易证四边形CFDH是正方形,于是BC=EC,CH=CF,∠CHB=∠CFE=90°△CHB≌△CFE（H.L）
∴∠BCH=∠ECF ∵∠ECF+∠HCE=90° ∴∠BCH+∠HCE=90°∴原命题成立
2）我同学的解法：·过D作DE⊥AB交AC于E,联结BE设∠A=X,则∠B=3X
∵BD=AD,DE⊥AB （中垂线定理）∴BE=AE ∴∠EBA=∠A=X ∴∠EBC=3X-X=2X
∵∠CEB=∠EBA+∠A=X+X=2X（外角） ∴∠EBC=∠CEB ∴BC=CE ·（开始都一样）
*(开始不同了)在DA延长线上截取DP=BD,联结CP ∵BD=PD,∠CDB=∠CDP=45°,CD=CD
∴△CDB≌△CDP（S.A.S）∴∠CPD=∠CBD=3X,CB=CP ∵CB=CE ∴CP=CE
∴∠CEP=∠CPD=3X=∠AED（对顶角相等,这步很关键）
∵∠AED=180°-∠A-∠EDA=90°-X ∴∠AED=3X=90°-X 解得X=22.5°
∠BCA=180°-4X=90°
3）百度网友的解法（最变态）
过C作CG⊥AB于G,易证△CDG是等腰直角,设GC=GD=x,设BD=AD=1
tanA=x/1+x tanB=tan(3A)=x/1-x 有个玩意叫三倍角公式.网上查一下吧
总之解得x=1/√2,CD=1=AD=BD 易证∠BCA=90°
打字打得这么辛苦一定要给分啊.