【平面几何】求做直线,使定点到该直线的距离之和最短小弟近日梦到一问题(平几,不要想立体几何):如题,求做直线,使平面内的n各定点到该直线的距离之和最短.n=1.过该点的所有直线均可
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 10:10:27
【平面几何】求做直线,使定点到该直线的距离之和最短小弟近日梦到一问题(平几,不要想立体几何):如题,求做直线,使平面内的n各定点到该直线的距离之和最短.n=1.过该点的所有直线均可
【平面几何】求做直线,使定点到该直线的距离之和最短
小弟近日梦到一问题(平几,不要想立体几何):
如题,求做直线,使平面内的n各定点到该直线的距离之和最短.
n=1.过该点的所有直线均可
n=2.过这两点的直线
n=3.过这三点中距离最大的两点的直线(例:ABC三点,若AB>BC>AC,就是过AB的直线)
(1)n=3时的给出的做法是正确的还是错误的.如果是正确的,请给出证明,如果是错误的,请给出正确做法并证明
(2)求当n=4,5,6...
我的思路:
1.解析几何比较实用平面内点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为(|y0-kx0-b|)/(√(1+k^2))
2.可做一条与所求直线l垂直的直线m,然后做那些定点在直线m上的投影.然后求这些投影的点 到 直线l与直线m的交点 的距离 即可.(显然l与m的交点应该在正中间的一个投影上(如果是n奇数)或在正中间的两点之间(如果n是偶数))
【平面几何】求做直线,使定点到该直线的距离之和最短小弟近日梦到一问题(平几,不要想立体几何):如题,求做直线,使平面内的n各定点到该直线的距离之和最短.n=1.过该点的所有直线均可
很好很有趣的问题
首先,这个问题我在信息学奥赛的国家集训队论文集中看到过,当时是作为一个程序算法题出现的
论文集的解法并不是基于严格的数学证明.我做了一个严格的数学证明,证明过程要用到一些一元函数导数求极值的手段,楼主如果学过导数可能容易理解一些
在详细解答之前,先给出你的两个问题的结论:
(1)n=3时你的做法是对的
(2)当n>=2时,点集距离和最小的直线必定过点集中的某两个点,也就是说,距离和最小的直线是n(n-1)/2条过两点的直线中距离和最小的那条直线
以n=3为例,可能的距离最小和直线只能在AB,BC,AC中出现,因为AB>BC>AC,由于底越大高越小,所以n=3是所求的直线就是距离最大的两点的连线(即AB)
也就回答了你的(1)问题
详细的解答过程我放在了空间相册里(这儿打字符根本说不明白),过程还是比较复杂的,一共三张图片,全部用latex排版,数学公式看上去是很美观的(顺次点开看到全部解答,点击屏幕右下角的"查看原图"恢复到原来的图片大小):
有了(2)的结论,楼主还可以进一步想想,这n(n-1)/2条过两点直线中哪条是距离和最短的(我猜想没有一个统一的答案)
另外想问问3楼的弟兄,"证明很简单"你能否给出一个详细证明?看你n=3的情况证明都是错的!
楼上的兄弟,线性回归求的是点到直线距离的平方和最小值,不是距离的和,好伐.
n=3是正确的,证明极其简单。
比如说ABC三点,AB距离最大,以A为圆心,AB为半径画个圆,则点C落在圆内。只需证C到AB的距离小于B到AC的距离,你用相似三角形一下就证出来了。
n>3的也很简单,你可以证明:至少有2个点在所求直线上,这样,一共有n(n-1)/2条直线,你一个一个试就试出来了。
证明方法大约是这样:如果没有点在直线L上,你可以略微平移L,总有一个方向使...
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n=3是正确的,证明极其简单。
比如说ABC三点,AB距离最大,以A为圆心,AB为半径画个圆,则点C落在圆内。只需证C到AB的距离小于B到AC的距离,你用相似三角形一下就证出来了。
n>3的也很简单,你可以证明:至少有2个点在所求直线上,这样,一共有n(n-1)/2条直线,你一个一个试就试出来了。
证明方法大约是这样:如果没有点在直线L上,你可以略微平移L,总有一个方向使得距离和不会增大,直到碰上一个点。于是,至少有一个点会通过所求直线L。
再证明两个点的:如果只有一个点通过所求直线L,那么你可以略微旋转L,总有一个方向使得距离和减小,直到L再碰上一个点。
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LZ如果不是来消遣我等的,那的确极具数学天赋~把方差公式都搞出来了
首先,纠正一下1楼的说法是不正确的,高一必修三里面那个回归直线方程的意义是使得坐标系里面这N个点到回归直线的距离的“平方和”最小【需要强调的是,这里的距离并非楼主需要的点到直线的垂直距离,而是是指竖直方向上的距离:也就是过该点(不妨设纵坐标是y1)作垂直于x轴的直线,与回归直线交与一点,它的纵坐标是y2,那么这里所谓的竖直距离就是yi-y2的绝对值】 这里用的是所谓的“最小二乘法” 而这道题目所要用的应该是“最小一乘法” 所以,1楼的论述是不正确的。 其实,你的问题已经有位大学教授解决过了... 你看看这个:http://www.cqvip.com/onlineread/onlineread.asp?ID=10376700 这里只能看第一页,剩下的要钱才能看...要用到大学的知识,反正我是看不懂啦,你看看对你有没有帮助吧。 另外对于你的第一个问题,2楼的所发我看的是不大懂的,我这里用我的方法说明一下。(反证法) 设AB是最长边,它上面的高长是h 如图,假设存在一条直线比边AB所在的直线满足ABC三点到该直线的距离更短,不妨设它是直线l。 那么由图中容易知道:AC,BC都大于h。假设ABC到该直线的距离分别是a,b,c 那么明显(a+b+c<h<AC和BC) 这样的话分别以ABC三点为圆心,以a,b,c三点为半径作圆容易知道三个圆之间是独立的,没有任何交点的。 ∵A,B,C到直线m的距离分别是a,b,c,那么三个圆(圆A,圆B,圆C)一定有一条公切线,明显,这条公切线不存在(不可能有直线与三个圆心不在同一直线上的圆都相切) ∴假设错误 ∴过这三点中距离最大的两点(A,B)的直线即是n=3时的所求直线. 另外,楼主的想象力真的很丰富,为了你的这道题我也想了很久,差点也犯了1楼一样的错误。。希望楼主继续保持这种好奇心!!
能作出这样的梦真是天才!
我认为你的想法不是正确的。
当然,作为一个普通的高三学生,我所说的也只是我的想法:
不知道你有没有看过高中数学(人教版)选修2-3的第三章第一节:回归分析的基本思想及其初步应用?
书上做讲的内容与你这题要求的“直线”本质上是一样的:求回归直线
我的方案(基本是背书的):
①建立直角坐标系,给n个点编号(画散点图)
②...
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能作出这样的梦真是天才!
我认为你的想法不是正确的。
当然,作为一个普通的高三学生,我所说的也只是我的想法:
不知道你有没有看过高中数学(人教版)选修2-3的第三章第一节:回归分析的基本思想及其初步应用?
书上做讲的内容与你这题要求的“直线”本质上是一样的:求回归直线
我的方案(基本是背书的):
①建立直角坐标系,给n个点编号(画散点图)
②求回归方程:
分类讨论:
1.如果N个点的分布接近于线性,则可以直接用线性方法做下去;
2.如果N个点的分布不是线性,则应当用各种方法将其转换为线性:
例如:有一组点的分布是呈二次函数的,则应当将点用对数函数转化为线
性关系再作下一步处理
③线性回归方程的求法:
n _ _
∑ (xi-x)(yi-y)
⌒ i=1
b= -------------------
n _
∑ (xi-x)^2
i=1
⌒ _ ⌒ _
a= y - b x
④所以y=ax+b为所求
⑤由于可能求到很多个直线,那到底哪个最准呢?
所以要 求“残差”,残差越小,证明所求直线越精确
将散点的残差的平方加起来,就得到了残差平方和,它代表了随机误差的效应
(这个公式比上面的更难写,所以不打了)
*如果你看不懂的话我跟你解释一下:
这实质就是通过求这些散点里这条虚拟的线的最短距离之和,类似于初中学的求一组数据的方差.(因为如果有的点在直线下方,有的点在上方,它们一正一负会相互抵消导致误差,所以这个公式为了避免这种情况,用了类似求方差的办法.)
⑥搞定!
如果你要找不到数学选修2-3,可以去这个网址下载课件看,如果你还看得下的话:http://mathschina.com/gaozhongkebiao/ShowSoft.asp?SoftID=74831
我可是找了很久才找到的啊!
另外,对于你所说的
2.可做一条与所求直线l垂直的直线m,然后做那些定点在直线m上的投影.然后求这些投影的点 到 直线l与直线m的交点 的距离 即可。(显然l与m的交点应该在正中间的一个投影上(如果是n奇数)或在正中间的两点之间(如果n是偶数))
——我认为未尝不可,但很难保证是最短的(也就是最精确的),最好将点到线的距离用方差计算,得到的结果可能更加准确。而且,你所讲的办法不具有一般性,也就是在一些其他方面可能难以拓展,只适合基础(直线)部分,例如求一条曲线就不行了。
不过我很钦佩的对数学的热情和不息的探索!我跟你讲的东西都是老师教的,我没有你一样思考的空间和火花,所以你一定很有潜力!By the way,老师用了一个星期才讲完,我的话不免有漏洞,最好还是自己翻书看看,理解,这样比较深刻。最后,祝你成功!作个好梦!
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嗯,我看三楼「矛∈雨∮盾 - 魔法师 四级」应该是对的!O(∩_∩)O
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NB啊
我觉得“矛∈雨∮盾”的也不对吧
还是有存在这样的切线,它是BC两圆的内公切线、AC两园的内公切线、AB两圆的外公切线。大家应该想象的到吧~
所以我觉得n=3时应该不是那条线,因为现在我也无法证明…………
还是佩服你的做梦能力,天才!...
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我觉得“矛∈雨∮盾”的也不对吧
还是有存在这样的切线,它是BC两圆的内公切线、AC两园的内公切线、AB两圆的外公切线。大家应该想象的到吧~
所以我觉得n=3时应该不是那条线,因为现在我也无法证明…………
还是佩服你的做梦能力,天才!
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