作业帮线性代数的n维向量空间那部分有个问难问大家————A是两组空间向量的基的过度矩阵,书上说A具有如下性质：由于基是线性无关的,因而A是可逆矩阵.不明白怎么就能够判断A这个过度矩阵
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 08:10:23
线性代数的n维向量空间那部分有个问难问大家————A是两组空间向量的基的过度矩阵,书上说A具有如下性质：由于基是线性无关的,因而A是可逆矩阵.不明白怎么就能够判断A这个过度矩阵
线性代数的n维向量空间那部分有个问难问大家
————A是两组空间向量的基的过度矩阵,书上说A具有如下性质：由于基是线性无关的,因而A是可逆矩阵.不明白怎么就能够判断A这个过度矩阵是可逆矩阵了?大家都知道判断可逆矩阵的条件是A的行列式值不等于零,这里该如何判断?
线性代数的n维向量空间那部分有个问难问大家————A是两组空间向量的基的过度矩阵,书上说A具有如下性质：由于基是线性无关的,因而A是可逆矩阵.不明白怎么就能够判断A这个过度矩阵
n阶方阵Q可逆的充要条件有
1) |Q|≠0
2) R(Q)=n (秩)
3) Q的行向量组或列向量组线性无关
4) 齐次方程组Qx=0只有零解
5) 存在n阶方阵B,使BQ=QB=E (单位阵)
在这里可以用2)的方法来证明,如下:
向量空间V ,维度dimS=n ,V的两组基A,B
基底必然线性无关 ,即 R(A)=R(B)=n
设变换矩阵为Q ,即B=AQ ,且Q为n阶方阵 ,则R(Q)≤n
所以由B=AQ知 :R(B)≤min{R(A),R(Q)}= min{n,R(Q)}=R(Q)
即R(Q)≥R(B)=n
又R(Q)≤n
所以R(Q)=n ,即Q满秩 ,方阵Q满秩即说明|Q|≠0 ,即可逆
线性无关，那么为满秩矩阵，那么行列式当然不为0,
所以为可逆矩阵。
\A\不等于零，所以可逆
设{a_1,a_2,...,a_n}，{b_1,b_2,...,b_n}是V的两组基，从{a_1,a_2,...,a_n}到{b_1,b_2,...,b_n}的过渡矩阵是A。
我们知道对V中任意向量α,都可由V的任意组基唯一线性表示，表示的系数即坐标向量。设α在基{a_1,a_2,...,a_n}下的坐标向量是X，在基{b_1,b_2,...,b_n}下的坐标向量是Y，则Y=AX。
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设{a_1,a_2,...,a_n}，{b_1,b_2,...,b_n}是V的两组基，从{a_1,a_2,...,a_n}到{b_1,b_2,...,b_n}的过渡矩阵是A。
我们知道对V中任意向量α,都可由V的任意组基唯一线性表示，表示的系数即坐标向量。设α在基{a_1,a_2,...,a_n}下的坐标向量是X，在基{b_1,b_2,...,b_n}下的坐标向量是Y，则Y=AX。
这说明，对任意的向量Y，AX=Y都有唯一解，因此A是可逆矩阵。
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