已知ab是两个正实数,且a不等于b,求证的a的立方+b的立方>a的平方×b+a×b的平方

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 18:38:18
已知ab是两个正实数,且a不等于b,求证的a的立方+b的立方>a的平方×b+a×b的平方

已知ab是两个正实数,且a不等于b,求证的a的立方+b的立方>a的平方×b+a×b的平方
已知ab是两个正实数,且a不等于b,求证的a的立方+b的立方>a的平方×b+a×b的平方

已知ab是两个正实数,且a不等于b,求证的a的立方+b的立方>a的平方×b+a×b的平方
a³+b³-(a²b+ab²)
=(a+b)(a²-ab+b²)-ab(a+b)
=(a+b)(a²-ab+b²-ab)
=(a+b)(a-b)²
∵a、b都是正数,且a≠b,
∴(a+b)(a-b)²>0
即:a³+b³>a²b+ab²

a³+b³-(a²b+ab²)
=a²(a-b)+b²(b-a)
=(a-b)(a²-b²)
=(a-b)²(a+b)>0
所以a³+b³>a²b+ab²

作差法:a的立方+b的立方-(a的平方×b+a×b的平方)= a的平方(a-b)+b的平方(b-a)=(a-b)×(a的平方-b的平方)=(a-b)的平方×(a+b)
因为a,b是两个正实数,则a+b>0且(a-b)ab的平方>0
所以a的立方+b的立方-(a的平方×b+a×b的平方)>0
所以a的立方+b的立方>a的平方×b+a×b的平方...

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作差法:a的立方+b的立方-(a的平方×b+a×b的平方)= a的平方(a-b)+b的平方(b-a)=(a-b)×(a的平方-b的平方)=(a-b)的平方×(a+b)
因为a,b是两个正实数,则a+b>0且(a-b)ab的平方>0
所以a的立方+b的立方-(a的平方×b+a×b的平方)>0
所以a的立方+b的立方>a的平方×b+a×b的平方

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