作业帮三角形中,角C等于60°,求sinA+sinB的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 13:50:29
三角形中,角C等于60°,求sinA+sinB的最大值
三角形中,角C等于60°,求sinA+sinB的最大值
三角形中,角C等于60°,求sinA+sinB的最大值
sinA+sinB=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2=c√3os(A-B)/2≤√3,当且仅当A=B=60°时,等号成立.
分析：由C=π/3，得A+B=2π/3。利用这个条件，即可构造不等式解题。
法一：琴生不等式。
令f（x）=sinx，x∈（0,2π/3）。
则f'（x）=cosx，f''（x）=-sinx。
由x∈（0,2π/3），得f''（x）＜0.
故f（x）在（0,2π/3）上是凸函数。
从而（f（A）+f（B））/2≤f（（A+B）/2）
即sin...
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分析：由C=π/3，得A+B=2π/3。利用这个条件，即可构造不等式解题。
法一：琴生不等式。
令f（x）=sinx，x∈（0,2π/3）。
则f'（x）=cosx，f''（x）=-sinx。
由x∈（0,2π/3），得f''（x）＜0.
故f（x）在（0,2π/3）上是凸函数。
从而（f（A）+f（B））/2≤f（（A+B）/2）
即sinA+sinB≤2sin（（A+B）/2）=2sin（π/3）=√3.
综上，sinA+sinB的最大值为√3，且A=B=π/3时取最大值。
法二：三角代换。
A+B=2π/3，则A=2π/3-B，B∈（0,2π/3）。
从而sinA+sinB
=sin（2π/3-B）+sinB
=√3/2×cosB+3/2sinB
=√3（1/2×cosB+√3/2×sinB）
=√3sin（B+π/6）
∵B∈（0,2π/3）
∴B+π/6∈（π/6,5π/6）
∴√3sin（B+π/6）∈（√3/2，√3]
故B+π/6=π/2，即A=B=π/3时，sinA+sinB取最大值√3.
综上，sinA+sinB的最大值为√3，且A=B=π/3时取最大值。
收起
A+B+60°=180°,B=120° -A
sinA+sinB=sinA+sin(120° -A)=sinA+√3/2*cosA+1/2*sinA
=3/2*sinA+√3/2 *cosA
=√3 *sin(A+30°）<=√3当且仅当A=B = 60°时，等号成立