作业帮已知点P在抛物线y=(1/4)x^2上,F为抛物线的焦点,点A（1,1）,则PF+PA的最小值?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 14:48:31
已知点P在抛物线y=(1/4)x^2上,F为抛物线的焦点,点A（1,1）,则PF+PA的最小值?
已知点P在抛物线y=(1/4)x^2上,F为抛物线的焦点,点A（1,1）,则PF+PA的最小值?
已知点P在抛物线y=(1/4)x^2上,F为抛物线的焦点,点A（1,1）,则PF+PA的最小值?
F的坐标是(0,1)
准线的方程是y=-1
y=(1/4)x^2经过(1,1/4)
所以A(1,1)在抛物线上方
PF+PA最小时,可做AB⊥y=-1,此时|AB|=2
当P(1,1/4)时PF+PA最小,是2
x²=4y F为（1,1）准线方程为y=-1 根据抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等 则当过A点作准线的垂线 所得的高即为PF+PA的最小值
x²=4y
焦点 F（0,1）
准线 L: y=-1
PF+PA=PA+P到L的距离
由平面几何知识，点到直线的垂线段最短
P为过A的L的垂线与抛物线的交点
此时 最小值为A到直线的距离=2
设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。连结P’F。则：
|PF|=|PH| , |P'F|=|P'H'| (抛物线上的点到焦点和准线的距离相等）
∴ |PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH|≥|AH’| （△PAH中两边之和大于第三边，直角△AH'H中，斜边大于第三边）
当H点与H’重合时...
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设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。连结P’F。则：
|PF|=|PH| , |P'F|=|P'H'| (抛物线上的点到焦点和准线的距离相等）
∴ |PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH|≥|AH’| （△PAH中两边之和大于第三边，直角△AH'H中，斜边大于第三边）
当H点与H’重合时，P点与P’点重合，取等号，
此时|AH’| =|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F| 所以，|PA|+|PF|的最小值是|AH’|，
而准线方程y=-1 点A(1,1)到准线的距离AH'=2
故|PA|+|PF|的最小值是2，此时，P’的坐标是（1，1/4）
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