抛物线切线方程的推导过程

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 04:04:31

抛物线切线方程的推导过程
抛物线切线方程的推导过程

抛物线切线方程的推导过程
抛物线y²=2px是圆锥曲线方程,但不是函数,由x轴分成的两部分是函数,且两个对应的反函数合起来是一个函数,即y=x²/(2p),
它也是抛物线,且与抛物线y²=2px关于直线y=x对称；
设抛物线y=x²/(2p)上任一点为M(x0,x0²/(2p))；
由该抛物线图像可知,其上任一点的切线都不可能与y轴平行,
即其上任一点的切线斜率都存在,设过M点的斜率为k,
则其切线方程为y-(x0²/(2p))=k(x-x0)；
联立y=x²/(2p),消去y得：(1/(2p))x²-kx+(kx0-(x0²/(2p)))=0；
则Δ=(-k)²-4(1/(2p))(kx0-(x0²/(2p)))=0,
化简得k²-2(x0/p)k+(x0²/p²)=0,解得k=x0/p；

比如求切y=ax2+bx+c于（X1,y1）点的切线方程，先将y=ax2+bx+c两边求导得到切线斜率k=2ax+b,将x1代入即可求得，再设切线方程为y=kx+d,由切线过点（x1,y1）可求得方程

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