如何利用初等变换将一个3X3矩阵变成两个3X2和2X3的矩阵乘积、

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 05:39:09

如何利用初等变换将一个3X3矩阵变成两个3X2和2X3的矩阵乘积、
如何利用初等变换将一个3X3矩阵变成两个3X2和2X3的矩阵乘积、

如何利用初等变换将一个3X3矩阵变成两个3X2和2X3的矩阵乘积、
这个貌似很麻烦,而且可能存在错误.
3×2和2×3的矩阵的秩最多只能为2,故这样的两个矩阵相乘的结果的秩最多只能为2.
若A（原3×3矩阵）的秩也≤2,那么可以按下面步骤实现：
【理论上讲任何一个方阵都可以经过满秩初等行列变换化为标准型diag{1,1,...,1,0,0,...,0}
1的个数为A的秩
每个初等变换对应一个初等矩阵,行变换对应左乘这个初等矩阵,列变换对应右乘这个初等矩阵
Ps...P2P1AQ1Q2...Qt=diag{1,1,...,1,0,...,0}(1的个数等于A的秩)
=PAQ=BC=>A=(P^(-1)B)(CQ^(-1))
P=Ps...P2P1;Q=Q1Q2...Qt
当r(A)=2时,B=[1 0;0 1;0 0],C=[1 0 0;0 1 0]
当r(A)=1时,B=[1 0;0 0;0 0],C=[1 0 0;0 0 0]】
原理讲完了,那么我们不妨这样操作：
看A的秩是1还是2（3就别想着用这种方法了,理论上就行不通）
若是2,那就这样来：（秩为1时你可以类似这个来做,就不赘述了）
B右侧添加一列0变为B1,C的下侧添加一行0变为C1
把diag{1,1,0}=D先扩充成这样一个矩阵：
F=
B1 D
O C1
并对矩阵块D进行初等行列变换,目标是变成A
行变换时B1跟着变,C1不变；列变换时C1跟着变,B1不变
当D被变成A时,B1就变成了[B2 O],C1就变成了[C2' O]'
其中O为列向量(0,0,0)'
B2和C2分别为所要求的3×2和2×3矩阵

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