作业帮已知直线l与椭圆X^2+4y^2=40交于A,B两点,且AB的中点为(4,-1).(1)求此弦A,B所在直线l的方程.(2)AB的长
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 06:47:47
已知直线l与椭圆X^2+4y^2=40交于A,B两点,且AB的中点为(4,-1).(1)求此弦A,B所在直线l的方程.(2)AB的长
已知直线l与椭圆X^2+4y^2=40交于A,B两点,且AB的中点为(4,-1).(1)求此弦A,B所在直线l的方程.(2)AB的长
已知直线l与椭圆X^2+4y^2=40交于A,B两点,且AB的中点为(4,-1).(1)求此弦A,B所在直线l的方程.(2)AB的长
1.(1)若斜率不存在,则AB的中点不可能为(4,-1)
(2)斜率存在且设为k.设直线为y=k(x-4)-1,与椭圆方程联立
得方程:(1+4k^2)x^2-(32k^2+8k)+64k^2+32k-36=0
设A(x1,y1) B(x2,y2)
x1+x2=(32k^2+8k)/(1+4k^2)=8
得k=1
所以直线方程为y=x-5
2.已经得k=1
则x1+x2=8 x1*x2=12
d=根号(1+k^2)*(x2-x1)的绝对值
（x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2
得d=4*根号2
用点差法
X1^2+4*Y1^2=40
X2^2+4*Y2^2=40
两式相减化简得(Y1-Y2)/(X1-X2)=-(X1+X2)/(4(Y1+Y2))=1,所以直线AB的斜率是1，所以直线AB的方程为x-y-5=0
用弦长公式
AB^2=(k^2+1)(X2-X1)^2=(k^2+1)((X2+X1)^2-4X1X2)
将直线的方程带入椭圆方程，...
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用点差法
X1^2+4*Y1^2=40
X2^2+4*Y2^2=40
两式相减化简得(Y1-Y2)/(X1-X2)=-(X1+X2)/(4(Y1+Y2))=1,所以直线AB的斜率是1，所以直线AB的方程为x-y-5=0
用弦长公式
AB^2=(k^2+1)(X2-X1)^2=(k^2+1)((X2+X1)^2-4X1X2)
将直线的方程带入椭圆方程，用韦达定理解得X1+X2=8 X1*X2=12 k是直线AB的斜率等于1
所以AB的长为4*根号2
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