x^2-2在有理数内不可约.则x^2-2是以√2为根的最低次数的有理系数不可约多项式,为什么?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 23:29:45
x^2-2在有理数内不可约.则x^2-2是以√2为根的最低次数的有理系数不可约多项式,为什么?

x^2-2在有理数内不可约.则x^2-2是以√2为根的最低次数的有理系数不可约多项式,为什么?
x^2-2在有理数内不可约.则x^2-2是以√2为根的最低次数的有理系数不可约多项式,为什么?

x^2-2在有理数内不可约.则x^2-2是以√2为根的最低次数的有理系数不可约多项式,为什么?
这个用Eisenstein判别法:
设f(x) = a0·x^n+a1·x^(n-1)+...+an是整系数多项式.
若存在质数p满足(1) p不整除a0,(2) p | ak,k = 1,2,...,n,(3) p²不整除an,
则f(x)是在有理数域上不可约.
对于x^n-2,可知p = 2即满足条件,因此x^n-2在有理数域上不可约.

“有理系数不可约多项式”是指各项系数没有公约数

比如：

3x^2-2x+1符合这个条件

而

5x^3+25x+10因为系数有公约数5，可写为5（x^3+5x+2)而不是不可约多项式

x^2-2=0的根是：正负根号2。这个多项式的最高次数为2

而低于2次的多项式就只有形如：

ax+b这样的一次多项式

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“有理系数不可约多项式”是指各项系数没有公约数

比如：

3x^2-2x+1符合这个条件

而

5x^3+25x+10因为系数有公约数5，可写为5（x^3+5x+2)而不是不可约多项式

x^2-2=0的根是：正负根号2。这个多项式的最高次数为2

而低于2次的多项式就只有形如：

ax+b这样的一次多项式

它的根x=-(b/a)是有理数，而√2为无理数

因此：

x^2-2是以√2为根的最低次数的有理系数不可约多项式。

 

 

附：

收起

x^2-2在有理数内不可约.则x^2-2是以√2为根的最低次数的有理系数不可约多项式,为什么? 怎样证明x^2+1在有理数域上不可约. 在复数域,有理数域将f(x)=x^9+x^8.x^2+x^1+1分解为不可约因式的乘积! 证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约 f(x)=x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1在有理数域、实数域上的不可约多项式乘积 在复数与实数域上,分解x^n-2为不可约的乘积 在复数与实数域上,分解x^n-2为不可约的乘积 a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f（x）,使f（a）=0 证明x^3-5x+1在有理数域上不可约 求i+根号2在有理数域Q上的不可约多项式,各位高手请告诉我把 x^4+1在有理数域上分解成不可约多项式 在有理数域上分解以下多项式为不可越因式的乘积 x^3-2x^2-2x+1 判断多项式x^4+2x^3-16x^2+6x+2在有理数域上是否可约?等待ing 证明：有理数域上含有实数根的不可约多项式必是2次多项式. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解X^4+1为不可约因式之积. f(x)=x^4+x+1在有理数域不可约怎么证明,我试过用y=x+1,但是不行我知道它是无有理根的，那样就是不可约的吗？ 证明:有理数域上含有实数根 1+根号2的不可约多项式必是2次多项式. 证明多项式f(x)=x^3+3x+1在有理数域上不可约大学高等代数求帮助!