已知实数x,y,z满足x+y=6,z的平方=xy-9,求证x=y

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 14:37:42
已知实数x,y,z满足x+y=6,z的平方=xy-9,求证x=y

已知实数x,y,z满足x+y=6,z的平方=xy-9,求证x=y
已知实数x,y,z满足x+y=6,z的平方=xy-9,求证x=y

已知实数x,y,z满足x+y=6,z的平方=xy-9,求证x=y
证明:由x+y=6知y=6-x,
因为z=xy-9=x(6-x)-9=6x-x²-9=-(x-3)²,
即z²+(x-3)²=0
故z=0,x=3,同时求得y=3
所以 x=y=3

证:
z²=xy-9,由于平方项恒非负,z²≥0,因此xy-9≥0 xy≥9。
由均值不等式得x²+y²≥2xy
(x+y)²≥4xy
4xy≤36
xy≤9
要xy≥9和xy≤9同时成立,只有xy=9
x,y是方程t²-6t+9=0的两实数根。
(t-3)²=0...

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证:
z²=xy-9,由于平方项恒非负,z²≥0,因此xy-9≥0 xy≥9。
由均值不等式得x²+y²≥2xy
(x+y)²≥4xy
4xy≤36
xy≤9
要xy≥9和xy≤9同时成立,只有xy=9
x,y是方程t²-6t+9=0的两实数根。
(t-3)²=0
x=y=3

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