作业帮点p在椭圆x^2/24+y^2/9=1上,直线方程:y=2x+1,求点p到直线的距离的最大值和最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 22:07:48
点p在椭圆x^2/24+y^2/9=1上,直线方程:y=2x+1,求点p到直线的距离的最大值和最小值
点p在椭圆x^2/24+y^2/9=1上,直线方程:y=2x+1,求点p到直线的距离的最大值和最小值
点p在椭圆x^2/24+y^2/9=1上,直线方程:y=2x+1,求点p到直线的距离的最大值和最小值
设P(m,n)
令m=2√6cosp
则y²/9=1-24cos²p/24=sin²p
所以y=3sinp
所以P到2x-y+1=0距离是|4√6cosp-3sinp+1|/√(2²+1²)
=|3sinp-4√6cosp-1|/√5
3sinp-4√6cosp
=√33sin(p-q)
tanq=4√6/3
所以-√33<=3sinp-4√6cosp<=√33
-√33-1<=3sinp-4-1√6cosp<=√33-1
所以0<=|3sinp-4√6cosp-1|<=√33+1
所以距离最大值=(√33+1)/√5=(√165+√5)/5
最小值=0/5=0
设y=2x+c和椭圆相切，联立
y=2x+c
x^2/24+y^2/9=1
消去y,得
105x^2+96cx+24(c^2-9)=0
令∆=0
96c^2=105(c^2-9)
c=±√ 105
由于1介于-√105和√105之间
所以直线和椭圆相交，最小值是0，最大值是直线y=2x+1,与直线y=2x-√10...
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设y=2x+c和椭圆相切，联立
y=2x+c
x^2/24+y^2/9=1
消去y,得
105x^2+96cx+24(c^2-9)=0
令∆=0
96c^2=105(c^2-9)
c=±√ 105
由于1介于-√105和√105之间
所以直线和椭圆相交，最小值是0，最大值是直线y=2x+1,与直线y=2x-√105之间的距离
即 ｜√105 +1｜/√5=√33 +√5 /5
收起
用参数方程：圆周率用pi表示。
（1）：设x=2根号6*cost，y=3sint，0<=t<=2pi
则任一点P的坐标为P（2根号6*cost，3sint）
则距离d=｜2*2根号6cost-3sint+1｜/根号5
（2）：问题转化为求｜4根号6cost-3sint+1｜的范围。设绝对值里面为
T=4根号6cost-3sint+1
=(根号105）...
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用参数方程：圆周率用pi表示。
（1）：设x=2根号6*cost，y=3sint，0<=t<=2pi
则任一点P的坐标为P（2根号6*cost，3sint）
则距离d=｜2*2根号6cost-3sint+1｜/根号5
（2）：问题转化为求｜4根号6cost-3sint+1｜的范围。设绝对值里面为
T=4根号6cost-3sint+1
=(根号105）*cos（t+t0）+1，
其中，cost0=（4根号6）/（根号105），sint0=3/（根号105）
（3）：T的最大值为根号105+1，最小值为-根号105+1；取绝对值后为[0，根号105+1]
(4):d的最小值为0，最大值为（根号105+1）/根号5=根号21+（根号5）/5
收起
由题意，数形结合可知，椭圆与直线相交，故最小值为0.现求最大值。数形结合知，当取得最大值时，点P必是椭圆的与直线y=2x+1平行的切线的切点，而最大值恰是切线与直线y=2x+1间的距离。可设切线为y=2x+t,代入椭圆方程中，整理得，35x^2+32tx+8(t^2-9)=0.===>判别式=0===》t=±√105.===>切线方程为：y=2x±√105与直线y=2x+1的距离为dmax=(1+...
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由题意，数形结合可知，椭圆与直线相交，故最小值为0.现求最大值。数形结合知，当取得最大值时，点P必是椭圆的与直线y=2x+1平行的切线的切点，而最大值恰是切线与直线y=2x+1间的距离。可设切线为y=2x+t,代入椭圆方程中，整理得，35x^2+32tx+8(t^2-9)=0.===>判别式=0===》t=±√105.===>切线方程为：y=2x±√105与直线y=2x+1的距离为dmax=(1+√105)/√5=(√21)+(√5)/5.
收起
因为直线与椭圆相交，得
最小值为0
椭圆最右端距直线最远，根据点到直线的公式，得
最大值为四倍根号六加一的和比根号五。