已知一个等差数列的前n项和为a,前2n项和为b,求前3n项的和

已知一个等差数列的前n项和为a,前2n项和为b,求前3n项的和
已知一个等差数列的前n项和为a,前2n项和为b,求前3n项的和

已知一个等差数列的前n项和为a,前2n项和为b,求前3n项的和
2b-a
Sn=a S2n=b所以 a1+(n-1)d=a a1+(2n-1)d=b 求解这两个式子 nd=b-a
a1=2a-b+d 所以 S3n=a1+(3n-1)d=2a-b+d+3nd-d=2a-b+d+3b-3a-d=2b-a

已知一个等差数列的前n项和为a,前2n项和为b,求前3n项的和
设等差数列{a‹n›}的首项为a₁，公差为d，则数列：
S‹2n›-S‹n›，S‹3n›-S‹2n›，S‹4n›-S‹3n›，..........

全部展开

已知一个等差数列的前n项和为a,前2n项和为b,求前3n项的和
设等差数列{a‹n›}的首项为a₁，公差为d，则数列：
S‹2n›-S‹n›，S‹3n›-S‹2n›，S‹4n›-S‹3n›，.......，S‹(K+1)n›-S‹kn›，.......
是一个公差D=n²d的等差数列(证明略)。故[S‹3n›-S‹2n›]-[S‹2n›-S‹n›]=n²d；
∴S‹3n›=n²d+2S‹2n›-S‹n›=n²d+2b-a..............(1)
又因为S‹n›=na₁+n(n-1)d/2，2S‹n›=2na₁+n²d-nd=2a..........(2)
S‹2n›=2na₁+2n(2n-1)d/2=2na₁+2n²d-nd=b.........................(3)
(3)-(2)得n²d=b-2a，代入(1)式即得S‹3n›=(b-2a)+2b-a=3b-3a=3(b-a).
例如{a‹n›}=1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，。。。；
a₁=1，d=2，取n=4；则
S‹n›=S‹4›=16=a，S‹2n›=S‹8›=64=b，S‹3n›=S‹12›=144，。。。。。。
S‹3n›=S‹12›=3(b-a)=3(64-16)=144.

收起

答案不好写，说下算了：
1 根据已知，设立数列第1项为A，数差为B，可列出等差数列的前n项和的公式、前2n项和的公式及前3n项和的公式
2 根据公式求出A*3n值和B值
3 代入前3n项和的公式后简化即得到答案。

c(n) = c + (n-1)d, n=1,2,... a = S(n) = nc + n(n-1)d/2 b = S(2n) = 2nc + n(2n-1)d b - 2a = n(2n-1)d - n(n-1)d = n^2d, d = (b-2a)/ n^2 c = a/n - (n-1)d/2 = a/n - (n-1)(b-2a)/[2n^2 S(3n) = 3nc + 3n(3n-1)d/2 = 3a - 3(n-1)(b-2a)/[2n] + 3(3n-1)(b-2a)/[2n = 3a + 3(b-2a)[3n-1-n+1]/[2n] = 3a + 3(b-2a) = 3(b-a) SNOWHORSE701

c(n) = c + (n-1)d, n=1,2,...
a = S(n) = nc + n(n-1)d/2,
b = S(2n) = 2nc + n(2n-1)d,
b - 2a = n(2n-1)d - n(n-1)d = n^2d, d = (b-2a)/n^2,
c = a/n - (n-1)d/2 = a/n - (n-1)(b-2a)/[2n^2]

全部展开

c(n) = c + (n-1)d, n=1,2,...
a = S(n) = nc + n(n-1)d/2,
b = S(2n) = 2nc + n(2n-1)d,
b - 2a = n(2n-1)d - n(n-1)d = n^2d, d = (b-2a)/n^2,
c = a/n - (n-1)d/2 = a/n - (n-1)(b-2a)/[2n^2]
S(3n) = 3nc + 3n(3n-1)d/2 = 3a - 3(n-1)(b-2a)/[2n] + 3(3n-1)(b-2a)/[2n]
= 3a + 3(b-2a)[3n-1-n+1]/[2n]
= 3a + 3(b-2a)
= 3(b-a)

收起

由题可知：Sn,S2n,S3n成等差数列
公差= S2n-Sn=b-a
S3n=S2n+公差=b+(b-a)=2b-a